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DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

  1. Remmu

    Date d'inscription
    octobre 2017
    Messages
    11

    DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Bonjour,

    J'ai un problème de math sur lequel je bute, il s'agit de montrer que Sn = 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n >= 2, pour n, un entier positif non nul.
    J'ai essayé ça :

    1/(2n) > 1/(4n)
    1/(n+(n-1)) > 1/(2n) > 1/(4n)
    .....
    1/(n+1) > 1/(4n)

    si on somme on tombe sur : Sn >= (1/4n)*n
    Sn >= (1/4)
    Merci de me donner des pistes (pas la solution toute faite), bonne journée

    -----

     


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  2. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 360

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Bonjour.

    Tu es sûr que c'est >= 2 ? Parce que tu vas avoir du mal à prouver ce résultat faux !!

    Pourquoi ne pas partir de 1/(2n)>=1/(2n) ?

    Cordialement.
     

  3. jacknicklaus

    Date d'inscription
    janvier 2017
    Messages
    785

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Faire un dessin et penser somme de Riemann.
    ca permet de corriger la valeur 2 erronée et de trouver le bon minorant.
     

  4. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 108

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Bonjour,
    Question bizarre : on voudrait corriger en ln(2), comme le suggère jacknicklaus, mais ce serait alors un majorant...
    Ou alors, il faut aussi rajouter 1/n
    Dernière modification par Resartus ; 13/10/2017 à 11h02.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  5. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 632

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Bonjour,
    Question bizarre : on voudrait corriger en ln(2), comme le suggère jacknicklaus, mais ce serait alors un majorant...
    Ou alors, il faut aussi rajouter 1/n
    non, c'est bien un minorant.
    sinon, il n'est pas demandé de trouver LE minorant ( sinon on écrit 1/2 et c'est fini )
    le minorant à prouver doit être dans l'énoncé. ( le bon énoncé )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     


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  6. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 632

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    edit : oui bien sur un majorant, ( j'ai fourché ) désolé.
    bref énoncé à réécrire.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  7. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 108

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Bonjour,
    Attendons l'énoncé exact, mais je soupçonne quand même qu'il va s'agir dans les questions suivantes de trouver la limite quand n tend vers l'infini (ce qui est un exo classique de prépa).
    Le seul majorant intéressant dans ce contexte est ln(2), et pour le minorant, il faut quelque chose qui converge vers la même valeur (en rajoutant 1/n, par exemple). Et la méthode des sommes de Riemann de jacknicklaus appliquée à 1/x est parfaite pour cela.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  8. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 632

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Et la méthode des sommes de Riemann de jacknicklaus appliquée à 1/x est parfaite pour cela.
    plus directement 1/(1+x) entre 0 et 1, non ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  9. Remmu

    Date d'inscription
    octobre 2017
    Messages
    11

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Milles excuses, il s'agit de 1/2 et non 2. C'est bon j'ai pu le faire. Il est vraiment simple mais je me compliqué la vie.
    Je pense pas qu'il y est un majorant, mais je vais chercher pourquoi ln2 en est un.
    Anyway, merci à tous
     

  10. Remmu

    Date d'inscription
    octobre 2017
    Messages
    11

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Bon j'ai mal lu, vous ne dites pas que ln2 est un majorant, le but de cet exo est de montrer que la serie harmonique diverge en montrant qu'elle n'est pas de Cauchy.
     

  11. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 108

    Re : DM : Suites 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/2n

    Bonjour,

    ln(2) est bien un majorant, et c'est même la limite quand n tend vers l'infini.

    Mais jacknicklaus et moi avons surestimé le niveau de votre exercice. Vous allez aujourd'hui démontrer que la série harmonique diverge, mais vous apprendrez plus tard qu'elle diverge comme ln(n) (d'où l'apparition de ce ln(2) qui peut sembler bizarre, et qui est la différence entre ln(2n) et ln(n).
    Dernière modification par Resartus ; 14/10/2017 à 09h20.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     


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