Alignement de 3 points sur une sphère

[gotz]

Bonjour,

Je m'excuse si la question a déjà été résolue mainte fois, je n'ai pas réussi a trouver la solution malgré mes recherches.

Je prends 3 points sur Terre ayant pour latitude et longitude :
A (55.855, -3.16)
B (48.874, 2.294)
C (43.45, 6.49)

J'essaye de savoir si ces 3 points sont sur le même "chemin", c'est à dire que si je trace une ligne sur le globe est ce qu'elle passe par mes 3 points. (ce n'est pas vraiment une ligne puisqu'elle suit la courbure de la terre).

De manière empirique avec google earth je vois que mes 3 points ne semblent pas alignés, mais si je modifie l'altitude de ma "ligne" entre 2 points (mettons que ma ligne est a 1000 mètres d'altitude) alors les points qui passent par cette "ligne" changent (rappelons que cette notion de ligne n'est pas vraiment exacte mais je n'ai pas de meilleur terme a part peut être corde ou portion de cercle)

Par le calcul je convertis mes 3 points en coordonnées 3d avec R le rayon de la terre j'obtiens ça (formule trouvée quelque part sur internet) :
A (-6360,-350,5275)
B (4185, 167, 4790)
C (4595, 522, 4381)

J'ai vu sur le forum que pour savoir si mes 3 points étaient alignés je devais prendre 2 vecteurs de mon choix et voir si ils sont coplanaires.
Je calcule 2 vecteurs AB et AC et je regarde si ils sont coplanaires -> ils ne le sont pas donc mes points ne sont pas alignés.

Maintenant j'aimerai reprendre cette notion de "hauteur" de ligne pour voir a quelle altitude je peux obtenir un chemin qui passe par mes 3 points, et j'essaye donc de poser par le calcul l'équation qui me permettrai en fonction de R, le rayon de la Terre, que je pourrais faire varier, de trouver mes vecteurs coplanaires et là je me casse les dents :

En prenant (x,y) (x',y') et (x'',y'') les latitudes et longitudes de mes 3 points, et si je dis pas de bêtises mes deux vecteurs ont pour coordonnées


Je ne vois pas en quoi changer la valeur de R (sauf si R=0) va me permettre d'obtenir 2 vecteurs coplanaires, j'en conclus donc que soit je me trompe soit Google Earth se trompe

Ma question est de savoir si la projection de ma ligne sur une sphere qui engloberait la terre ou sur une sphère plus petite que la terre me permettrai d'avoir mes 3 points alignés, et si oui comment mesurer le rayon d'une telle sphère.

Merci pour votre soutien !
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[minushabens]

bonjour,

sur une sphère la notion analogue à celle de droite sur un plan est celle de grand cercle (l'intersection de la sphère et d'un plan passant par son centre). Mais la Terre n'est pas vraiment une sphère, d'où les problèmes avec Google-Earth.

pour le reste tes calculs sont sans-doute faux puisque ton point de départ l'est : deux vecteurs sont toujours coplanaires.

[phys4]

Je prends 3 points sur Terre ayant pour latitude et longitude :
A (55.855, -3.16)
B (48.874, 2.294)
C (43.45, 6.49)

J'essaye de savoir si ces 3 points sont sur le même "chemin", c'est à dire que si je trace une ligne sur le globe est ce qu'elle passe par mes 3 points. (ce n'est pas vraiment une ligne puisqu'elle suit la courbure de la terre).

J'ai vu sur le forum que pour savoir si mes 3 points étaient alignés je devais prendre 2 vecteurs de mon choix et voir si ils sont coplanaires.
Je calcule 2 vecteurs AB et AC et je regarde si ils sont coplanaires -> ils ne le sont pas donc mes points ne sont pas alignés.

Bonjour, pour savoir si vos points appartiennent à un même grand cercle de la sphère, il faudrait vérifier si le plan défini par A,B,C passe par le centre (point 0,0,0)
car si les points sur la sphère ils n'ont aucune chance d'être sur une droite d'espace en 3D.
Au revoir.

[gotz]

Merci pour vos réponses.

Je ne parle pas forcément de grand cercle, ça peut être n'importe quel cercle pourvu que celui ci soit sur la surface du globe :



Concernant la notion de vecteurs coplanaires je me suis effectivement trompé, mais il est bien indiqué dans la conversation ci-dessous que 3 points sont alignés dans l'espace il faut que le vecteur AB puisse s'exprimer comme le vecteur AC à une constante près, ce qui ne remet pas en cause le calcul.

http://forums.futura-sciences.com/ma...space-xyz.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Je ne parle pas forcément de grand cercle, ça peut être n'importe quel cercle pourvu que celui ci soit sur la surface du globe

avec cette définition trois points sur la sphère sont toujours alignés: en effet ces 3 points sont dans l'intersection d'un plan et de la sphère, intersection qui est toujours un cercle.

[Amanuensis]

Trois points définissent un plan, dont l'intersection avec la sphère est un cercle.

[jacknicklaus]

Je prends 3 points sur Terre ayant pour latitude et longitude :
A (55.855, -3.16)
B (48.874, 2.294)
C (43.45, 6.49)

Définit précisément ta notion "d'alignement".

Classiquement, sur la sphère unité : , la notion d'alignement de points est confondue avec celle d'appartenance à une même géodésique, donc d'un grand cercle.
Dire que 3 points d'une même latitude sont alignés est .. bizarre, non ?


Les grands cercles vérifient l'équation où sont les deux paramètres du grand cercle. Il suffit de prouver que les trois points A B C vérifient l'équation d'un même grand cercle .