distance, espace métrique, norme..

[eyjafjallajokull]

Resalut, j'ai une autre question concernant le même thème que la question que je viens de poser... Soit R, le corps des nombres réels. On définit d: R x R dans R par la formule
d(x,y)= log(1+|x-y|). (i) Prouver qu'il n'existe aucune norme ||.|| sur R tq d(x,y) = ||x-y||. J'ai essayé de considérer le cas d(zx,zy) avec z appartenant à R mais je trouve
log(1+|z| |x-y|) = |z|*||x-y|| est les deux termes sont égaux si z=0... je bloque un peu et ii) Prouver que (r,d) n'est pas isométrique à la droite réelle munie de la métrique euclidienne; en d'autres termes, prouver qu'il n'existe aucune bijection f: R dans R tq pour tout x,y appartenant à R,
d(f(x), f(y)) = |x-y|. J'ai du mal à saisir l'énoncé et savoir par quoi commencer. il y à une indication avec l'énoncé qui est: Choisir x = 0, y=1, z= 2, calculer d(x,y), d(y,z), d(x,z) et examiner les configurations possibles pour les trois points f(x), f(y), f(z) sur la droite munie de la métrique euclidienne. Je suis un peu perplexe.. Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait très volontiers. Merci
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[JB2017]

Bonjour
d(x,0)=||x||=ln(1+|x|)
||2||=2||1||=ln(2)=ln(3) mais ça c'est possible!!

[JB2017]

Je voulais dire c'est impossible

[eyjafjallajokull]

Si je comprend bien, vous répondez au point (i) et vous montrez que pour tout x avec y=0, on a d(x,0)=||x||=ln(1+|x|) et ensuite vous prenez l'exemple de x=2 et on obtient 2 = ln(3), ce qui est impossible? Si la réponse est oui, est-ce suffisant pour montrer aucune norme qui vérifie cette condition?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Suppose qu'il existe une norme ||.|| qui vérifie d(x,y)=||x-y||
Que dit le calcul de JB2017 ? Conclusion ?

Cordialement.

[eyjafjallajokull]

J'ai compris, nickel.. Merci beaucoup!

Bonne journée