Domaine de définition d'une fonction valeur abosulue compliquée

[Kefkouze]

Bonjour.

Voilà maintenant plusieurs heures que je bloque sur le domaine de définition de la fonction suivante:
f(x)= (|x|(1-x)-2|x-1|)^(1/2)

Bon que f(x), il faut que |x|(1-x)-2|x-1|>(ou égal) 0 à cause de la racine carrée.

Du coup je résout |x|(1-x)-2|x-1|>(ou égal) 0

Pour x>0
x(1-x)-2(x-1)>(ou égal) 0
x-x²-2x+2>(ou égal) 0
-x²+x+2>(ou égal) 0
Delta = 9

x1=-2 x2=1

Or, comme x>0 on ne garde que x2.

Pour x<0
-x(1-x)-2(-x+1)>(ou égal) 0
-x+x²+2x-2>(ou égal) 0
x²+x-2>(ou égal) 0
Delta = 9

x1'=-2 x2'=1

Or, comme x<0 on ne garde que x1'.

J'ai tracé la fonction et je vois qu'elle est définie sur ]- infini;-2] mais je n'arrive pas à le démontrer, je ne sais pas quoi faire des résultats que j'ai trouvé.
Le problème c'est que l'inégalité est vérifiée pour toutes les valeurs de - infini à -2, mais également par 0 et 1.

Merci de votre aide,
Bonne soirée,
K.
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[gg0]

Bonsoir.

Dans ton expression, deux termes sont en valeur absolue, x et x-1. Comme la valeur absolue dépend de leur signe, il suffit de se placer dans chacun des intervalles où elles ne changent pas de signe, soit avant 0, entre 0 et 1 et après 1 (souvent, on fait un tableau. Puis regarder si l'expression simplifiée est positive ou négative, et si elle change de signe dans l'intervalle, où elle est positive.
Par exemple pour x<0, elle vaut (x-1 aussi est négatif) : -x(1-x)-2(1-x)=(-x-2)(1-x)=(x+2)(x-1)
Ce produit s'annule pour x=-2 et x=1, est positif à l'extérieur des racines et négatif entre. Donc ce sera positif sur ]-oo,-2] .

Reste à voir ce qui se passe entre 0 et 1, puis après 1. En le faisant correctement (toi, pour x>=0, tu as laissé tomber la valeur absolue sur x-1.
De plus, tu ne sembles pas vraiment traiter les inéquations (signe). Trouver quand c'est nul ne dit pas si ailleurs c'est positif, ou négatif.
Attention, regarde bien ce qui se passe pour x=0.

Cordialement.

[Kefkouze]

Bonsoir.

Merci de votre réponse si rapide.

Du coup, nous aurions pour x>1 : |x-1| > 0, ce qui nous permet de travailler avec |x|=x si j'ai bien compris.

Si c'est le cas, nous aurions : x(1-x)-2(1-x) >= 0
-x²-x+2>0
En résolvant, on trouve deux solutions x1 = 1 et x2 = -2 (je trouve surprenant de trouver les mêmes solutions que pour x<0)

Ce équation s'annule en -2 et -1 et est la fonction est négative à l'extérieur des racines et positive entre.
Du coup je serai tenté de dire que ce sera positif sur ]1;+oo[ .. Or graphiquement j'ai vu le contraire et c'est là que je bloque vraiment :/

Pour résoudre le cas 0<x<1, il est négatif pour x<1, donc lorsqu'on étudie le cas 0<x<1 on le considère comme tel. Mais je ne vois pas comment utiliser cela. J'ai peur de dire une bêtise en disant que cela implique de |x|=-x

Merci d'avance pour vos réponses,
Amicalement,
K.

[gg0]

Tu ne fais pas assez attention !

"En résolvant, on trouve deux solutions x1 = 1 et x2 = -2" "Ce (sic) équation s'annule en -2 et -1 "
Et déjà avant : " nous aurions pour x>1 : |x-1| > 0" ?? Quel intérêt de dire qu'une valeur absolue est positive ? On dirait que tu ne sais pas ce que veut dire valeur absolue. As-tu appris ton cours ????
"ce qui nous permet de travailler avec |x|=x " ?? Quel rapport entre le signe de |x-1| et la simplification de |x| ????

Bon, je vais mettre ça sur le compte de l'heure tardive, tu commençais à dormir !!
Revois la signification de la valeur absolue (c'est très simple) et reprends tout ça avec le cerveau éveillé, et en ne mélangeant pas. En particulier, le cas 0<=x<=1 ne pose aucun problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kefkouze]

Bonjour.

Merci encore de votre réponse.

En fait je n'ai tout simplement pas de cours, je fais cela de mémoire du lycée et j'avoue que cela me cause quelques torts.
Néanmoins, j'ai retenu que |x|=x si x>0 et |x|=-x si x<0.

Et dans ce cas que l'on travaille avec x<0 ou x>0 on trouve toujours des racines égales à -2 et 1.

En effet, je ne comprends pas l'étude du cas |x-1|.

Merci d'avance,
Amicalement,
K.

[gg0]

Pour la valeur absolue, une définition plus précise est
|x| = x si x>=0
|x| = -x si x<=0
Valable quelle que soit la valeur de x, donc pour |x-1| :
|x-1| = x-1 si x-1>=0
|x-1| = -(x-1) si x-1<=0

Avec ça tu peux traiter les deux cas.

"Et dans ce cas que l'on travaille avec x<0 ou x>0 on trouve toujours des racines égales à -2 et 1. Non, tu n'as pas travaillé avec x>0, mais avec x>1. Et oui, on trouve les mêmes racines, mais la question n'est pas là. Ce qui compte, c'est le signe ... suivant les valeurs de x.

Allez ! Fais ce travail proprement.

[Kefkouze]

J'ai essayé de faire ce travail proprement, voilà mes résultats:

Pour x-1>0:
x(1-x)-2(-x+1)>0

En résolvant cela, je trouve que la fonction est positive entre -2 et 1 et négative à l'extérieur des racines.

Pour x-1<0:
(-x)(1-x)-2(-x+1)>0

En résolvant cela, je trouve que la fonction est négative entre -2 et 1 et positive à l'extérieur des racines.

Je ne sais pas si c'est utile, mais je l'ai également fait pour x-1<0 avec 0<x<1 et je trouve les mêmes signes que pour x-1>0, du coup je peux en conclure la chose suivante:

Quand x<0, la fonction est positive sur ]-oo;-2], négative sur ]-2;1[, positive sur [1;+oo[
Quand x>0, la fonction est négative sur ]-oo,-2], positive sur ]-2;1[,négative sur [1;+oo[

[gg0]

Je t'avais proposé de travailler sur 3 intervalles, et repris proprement le premier. Tu l'as déjà oublié, et tu ne traites pas sérieusement ton problème.

Sans compter que tu ne réponds pas vraiment à la question posée :
"En résolvant cela, je trouve que la fonction est positive entre -2 et 1 et négative à l'extérieur des racines." ?? Oui, et alors ? Qu'est-ce que ça permet de dire pour la fonction dont tu cherches le domaine de définition ? D'ailleurs, tu as posé au départ "Pour x-1>0" et tu n'en tiens plus compte !

la fin est du même genre :
"Quand x<0, la fonction est positive sur ]-oo;-2], négative sur ]-2;1[, positive sur [1;+oo[" Tu t'intéresses aux valeurs supérieures à 1 quand x<0 ??

Donc toujours le même problème : Tu refuses de traiter sérieusement la situation, tu mélanges |x|(1-x)-2|x-1| avec ses expressions particulières pour des cas de valeurs de x, tu oublies pourquoi tu fais ces calculs ...

Déjà, une bonne idée serait de donner un nom à |x|(1-x)-2|x-1|, par exemple g(x)=|x|(1-x)-2|x-1|. Ce qui te permettrait de dire, par exemple :
"sur ]-oo,0], g(x)=-x(1-x)-2(-(x-1)) car x<=0 et x-1<0". C'est le cas que j'ai traité, que tu devrais revoir pour comprendre comment j'ai manipulé x²+x - 2 (qui n'est pas g(x)) pour savoir le signe de g(x) sur ]-oo,0].

Bonne réflexion !

[Kefkouze]

Je vous prie de croire que ce n'est pas de la mauvaise volonté et que je traite ce problème du plus sérieux que je puisse. Néanmoins, je pense ne pas comprendre les "bases" de votre raisonnement, ce qui implique que je ne comprenne pas la suite et que je fasse des calculs dans le vent.

[gg0]

Bon,

alors reprenons les deux cas :
: alors et ce qui fait que |x|=x et |x-1|=-(x-1)
g(x)=|x|(1-x)-2|x-1|=x(1-x)-2(-(x-1))=-x² + 3x-2
le polynôme -x²+3x-2 a pour racines 1 et 2, est négatif en dehors de ces racines, donc est négatif sur [0,1], strictement négatif sur [0,1[, nul en 1
Donc f est définie en 1.

: alors et ce qui fait que |x|=x et |x-1|=x-1
g(x)=|x|(1-x)-2|x-1|=x(1-x)-2(x-1)= -x²-x+2
le polynôme -x²-x+2 (*) a pour racines -2 et 1, et est négatif à l'extérieur des racines, en particulier sur ]1,+oo[ qui est notre cas. Donc f n'est nulle part définie sur cet intervalle.

En bilan


(*) c'est l'opposé de celui trouvé pour x<0, et pour cause, les deux valeurs absolues s'écrivent avec le signe contraire. Rien de surprenant.

[Kefkouze]

Bonjour.

Merci pour votre aide, a première lecture je pense mieux comprendre les fondements du problèmes. Je vais de ce pas mettre tout cela sur papier pour le maitriser à 100%.

Merci pour votre temps,
K.