Bonjour à tous,
je suis tombé sur une définition que je comprends bien mais dont un point m'échappe (oui je sais, je viens de me contredire!!). Il s'agit du cas d'une intégrale doublement impropre. Voici la définition
Soit f continue sur l'intervalle ouvert )a,b( avec a et b deux réels ou bien infinis. On dit que l'intégrale de a à b de f converge si il existe c tel que les deux intégrales (de a à c et de c à b de f) convergent. Dans ce cas: ( intégrale de a à b)=(intégrale de a à c) + (intégrale de c à b).
Rien de très compliqué la dedans mais ce que je ne comprends pas c'est la nécessité de "couper l'intégrale" en deux. Pour une intégrale simplement impropre, on dit qu'elle converge lorsque la limite de l'intégrale existe. Exemple si f continue sur (a,b( , (ouvert en b), on va dire que l'intégrale cv si la limite quand x tend vers b de l'intégrale de a à x converge. Pourquoi ne peut on faire la limite des deux bornes en même temps. En particulier j'ai vu cet exemple:
pour tout réel x l'intégrale de -x à x de f:t->t est nulle, mais l'intégrale de -infini à +infini est DV.
Je comprends bien pourquoi selon la définition elle DV (si on coupe en deux, on obtient deux intégrales dont l'une tend vers +infini et l'autre -infini), ce que je ne comprends pas, c'est la raison d'être de cette définition: pourquoi ne pourrait-t-on pas calculer l'intégrale de -x à x de f(t)=t, et faire tendre x vers +infini.
Je vous remercie pour les précisions que vous pourrez m'apporter en espérant que ma question est clairement formulée.
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