transposée d'une matrice interpretation

[sleinininono]

Bonsoir!

je viens vous demander de l'aide sur l'interpretation d'un principe d'algèbre : la transposée.

Je me demande comment physiquement cela affecte la transformation.

Mes pistes de réflexions :

quand on a des vecteurs et qu'on prend la transposée, on passe dans le dual. Par exemple on a une équivalence entre le vecteur colonne et le vecteur ligne en dimension 2 où, dans le premier cas on fait un produit scalaire, et dans le deuxième on réalise une projection sur une droite.

Ainsi, la transposée d'une matrice serait le passage au dual d'une application linéaire... mais qu'est ce que cela signifirait ? garde t-on des propriétés similaires?


Et ensuite les interrogations que l'on pourrait se poser serait, qu'est ce qu'une matrice symétrique, anti symétrique, VOIR hermitienne par la suite ?




si vous avez un coup de pouce!

bonne soirée!
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[Tryss2]

Ainsi, la transposée d'une matrice serait le passage au dual d'une application linéaire... mais qu'est ce que cela signifirait ?

Le mot clé c'est "opérateur adjoint" :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_adjoint

[sleinininono]

Merci pour ta reponse !

Neanmoins, je suis je pense au niveau d'une L1/L2 et je ne connais pas tout ça j'avais bien remarqué ce terme technique mais il l'est peut etre trop pour moi actuellement.

Je n'ai quentendu parler des espaces dHilbert et de Banach et ça risque d'être compliqué...

Je connais aussi les matrices auto adjointes ( hermitienne ) mais à part ça... cest le flou


Merci!

[sleinininono]

une idée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[PhilTheGap]

Bonjour

Tu peux aussi aller voir sur Wikipedia le lien avec les vecteurs (et tenseurs) covariant et contravariant Vecteur contravariant, covariant et covecteur.

[gg0]

Bonjour.

En tapant " transposée d'une matrice" sur un moteur de recherche, on trouve des réponses, par exemple sur Wikipédia, ou ailleurs. La dualité est une notion assez élémentaire, il suffit d'étudier un cours sur le sujet. C'est plus simple que les opérateurs (qui en sont une généralisation) ou le calcul tensoriel.

Cordialement.

[PhilTheGap]

Oui je suis d'accord gg0 c'est plus élémentaire de parler de dualité, mais comme Sleinininono parlait de comprendre physiquement à quoi ca servait, je lui ai donné des liens sur des notions qui servent en physique.

[sleinininono]

merci pour le partage! je viens d'essayer de lire ça.

Pourtant, je veux bien mais hormis le fait que les explications soient indigestes... au final ça m'avance pas ... je viens de lire l'article que Phil propose mais j'ai du mal et c'est pas forcement très explicite...

je me demande simplement ce à quoi correspond la transposée d'une matrice ?

là en cours on vient de voir les matrices orthogonales et j'arrive à m'imaginer ce que ça donne dans le cas des endomorphismes mais je ne vois pas encore comment se représenter le dual d'une application où espaces de départ et d'arrivés ne sont pas de la même taille...
si vous avez simplement une piste ?

par exemple dans le cas des vecteurs colonnes ça donne un produit scalaire, pour les endomorphismes je le vois comme une symétrie par rapport aux vecteurs des bases. Il va existe un axe où les n vecteurs qui représenteraient la base de M sont symétriques avec ceux de M^t. Mais dans le cas des morphismes de dimensions différentes ça me donne pas grand chose....

merci pour votre aide jusqu'ici

[azizovsky]

, essaye d'écrire les composantes d'un vecteur à partir d'un autre système de coordonnées défini par les vecteurs:

(1):

si les composantes dans le nouveau système de coordonnées:

tu va trouver:

(2):

les lignes de la transformation (2) sont remplacées par les colonnes de la transformation (1).

[azizovsky]

un petit détail pour éclaircir le contenu de l'outil, si la matrice représente la transformation des coordonnées orthogonales, les sont les cosinus directeurs (géométrie analytique), dans ce cas
, même cette écriture (représentation) contient implicitement un isomorphisme entre l'espace vectorielle comme algèbre et l'algèbre des GL(n,K) ....

[sleinininono]

si je recapitule,

tu me dis que quand on effectue une transformation d'un espace ( tq Ax = y ) alors on peut écrire une transformation réciproque ( d'une certaine façon ) qui te permet de retrouver les coordonnées de départ à partir de celles d'arrivées, celle ci s'écrit comme x = A^t y? Cela ne correspond pas à A^-1 par hasard?

néanmoins le fait que ce soit dans une certaine mesure une application réciproque résonne bien avec l'idée de matrice orthogonale où A^t = A^-1. C'est bien vu.


Merci pour ce commentaire qui me semble me faire avancer sur la bonne voie! Si tu veux bien juste préciser un petit peu ta pensée je suis sûr ce sera bientôt clair

bonne soirée

sleinininono

[azizovsky]

Dans notre cas pour simplifier (3D), si les deux système de coordonnées sont cartésiens, , mais un choix arbitraire de 3 vecteurs non coplanaires comme base , les et sont dans le cas générale différentes, regarde les coordonnées covariants (ou orthogonale) et les coordonnes contravariants (parallèles)....

[sleinininono]

je suis désolé je ne connais pas les mots contravariants et covariants... j'ai essayé de me renseigner mais je ne trouve rien de clair. A la limite j'ai entendu des histoires dans les histoires des catégories et des foncteurs (ici le dual) mais c'est tout...

[azizovsky]

si on passe par A: , càd , x' est un vecteur contravariant , si on passe par V ,càd: , x' est un vecteur covariant , on peut exprimer ses deux formules au moyen des dérivées partielles des nouvelles coordonnées par rapport au anciens et inversement avec et (en gardant les notation d'avant....)

soient les composantes d'un vecteur contravariant dans le système d'axes dans un autre système , on'a par définition:



de même pour les vecteur covariant , par définition :



ses formules peuvent êtres utiliser pour n'importe quelle transformation , même non linéaire ....

on peut vérifier que : , le deuxième membre de l'équation est un invariant (un scalaire), c'est le ....
pour le reste , il faut un cours ....

[sleinininono]

ça marche merci pour tous ces renseignements !
bonne journée!