Idéal ouvert

[jackgre]

Bonjour,
je n'arrive pas a trouver d'ideal ouvert de
une idée ?
Merci
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[AncMath]

Ouvert pour quelle topologie ?

[jackgre]

on se place dans

[AncMath]

Et tu cherches un ideal ouvert, non trivial, j'imagine ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[jackgre]

oui evidemment l'ensemble vide ne m'interesse pas ni l'ensemble tout entier

[AncMath]

L'ensemble vide n'est pas un idéal. Mais effectivement l'espace tout entier convient.

Un tel idéal est nécéssairement un sous -espace vectoriel de ton espace. Est ce que tu peux dejà trouver des sous espaces vectoriels ouverts non triviaux de ton espace ?

[jackgre]

on fixe x dans [0,1] alors
est un sev de mon ensemble il me semble

[AncMath]

Un sev oui, mais est-il-ouvert ?

[jackgre]

non il est fermé, c'est assez évident par caracterisation sequentielle.
Mais tout mon problème est la, trouver un ensemble ouvert,
J'avais penser a chercher un ouvert a l'aide de l'image reciproque d'une application mais je n'ai pas trouvé non plus

[AncMath]

Prenons les choses autrement, connais tu un espace vectoriel normé V et un sous espace non trivial W de V qui soit ouvert ?

[jackgre]

j'ai beau chercher je ne vois pas non

[AncMath]

Y a ptetr une raison, non ?

[jackgre]

je crois meme que si F est un sev de E ouvert alors F=E

[AncMath]

Tout à fait, oui.

[jackgre]

si je vous suis il n'existe pas d'ideal non trivial de mon espace ?

[AncMath]

Il n'existe pas d'ideal ouvert non trivial de ton espace, non.

[jackgre]

je ne suis pas sur de comprendre pourquoi un ideal ouvert de mon espace est forcement un sev par contre

[AncMath]

Essaie d'écrire une démonstration, c'est tres simple. Indice : un réel s'identifie à une la fonction constante sur [0,1] ayant pour valeur ce réel.

[jackgre]

ah oui c'est en effet simple
puisque si I est un ideal c'est un sous groupe additif de mon espace.
donc 0 est dans I
Son note A, B des fonctions constantes de [0,1] egalent à a et b respectivement
et f,g des fonctions de I
alors Af+Bg est dans I
donc la fonction af+bg est dans I

[jackgre]

merci pour votre aide

[AncMath]

Avec plaisir.