Application linéaire et polynômes

[Loosgin]

Bonjour/bonsoir,

Je suis bloqué sur un exercice d'application en algèbre linéaire.

Nous considérons l'application linéaire f de définie par

Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques.

Remplir une matrice d'application linéaire, je sais le faire. Cependant, je coince sur la correction, notamment :

J'ai beau retourné ce truc dans tous les sens, je n'arrive pas à obtenir les mêmes résultats que le prof :
f(1) = (1;1;1)
f(X) = (0;1;-1)
etc...

Comment il les a obtenus ?
NB : Les bases canoniques dans et sont respectivement : (1 + X+X^2+X^3+X^4) et e1(1;0;0), e2(0;1;0) et e3(0;0;1).


Je vous remercie pour toutes réponses.
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[gg0]

Bonjour


"(1 + X+X^2+X^3+X^4)" ?? Ce n'est pas une base. j'imagine qu'il faut lire (1, X, X^2, X^3, X^4)

Considère le polynôme 1, ou si tu préfères la fonction polynôme P : x--> 1; combien valent P(0), P(1) et P(-1) ?
Considère le polynôme X, ou si tu préfères la fonction polynôme P : x--> x; combien valent P(0), P(1) et P(-1) ?

Cordialement.

[Loosgin]

Merci pour votre retour rapide.
Je prends note pour la correction.

Sinon, pour moi cette application : (P (1), P (0), et P (-1) donne déjà les images car il y a la présence de valeurs en l'occurrence 1, 0 et -1.

C'est peut-être là d'où vient mon incompréhension car je pense que ce sont des images de P alors que ce sont justes des composantes de l'application f . Est-ce que je dis n'importe quoi ?

Merci encore pour votre attention.

[gg0]

P(1) est l'image de 1 par la fonction polynôme associée à P, et c'est l'évaluation en 1 de p (ce qu'on obtient en remplaçant, dans P, X par 1. ce sont des composantes non de f, mais de f(P) qui est un triplet de réels.

J'ai l'impression que tu te compliques la vie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Loosgin]

Pour la fonction polynôme P : x-> 1. Si on remplace x par 1 dans la base canonique de R indice 4 [X], cela nous donne 5, nous sommes bien d'accord ? Alors que valent le triplet de réels de la fonction f(P) ?

Pour X égal à 1, la valeur est de 5 quelque soit la composante de f(P) car, 1 0 -1 ne peuvent plus être injectés dans le polynome car tous les X ont été remplacé par 1.


Où est-ce que j'ai faux ?

[gg0]

"cela nous donne 5," ??????
D'où sort ce 5 ?

mais déjà avant, " Si on remplace x par 1 dans la base canonique de R indice 4 [X]" ?? La base canonique de R indice 4 [X] est composée de 5 polynômes (on dirait que tu n'as rien compris à ton cours, et pas lu mon message #2), et la question n'est pas là. je te parmais de remplacer X par 1 dans un polynôme. Un seul.

Donc :
1) revois ton cours, il y est sans doute fait allusion à Rn[X] et à ses bases. Sinon, revois quel espace vectoriel est en cause : ensemble, lois, parties génératrices, bases de Rn[X].
2) quand tu auras des idées claires, reprends ton exercice.

Cordialement.

[Loosgin]

Je pense avoir bien saisi le cours jusqu'à là même si on n'a pas fait les fondamentaux de l'algèbre ( définition d'un corps/anneaux).

Je comprends qu'une matrice d'application linéaire représente les scalaires d'une application linéaire entre 2 structures algèbriques (pour ce cas : ) dans leur base respective (pour ce cas : la base canonique de R indice 4 [X] et la base canonique de R ^3 ).

Jusqu'à maintenant, je croyais que la base canonique d'un polynôme était égale à 1+X+X^2+X^3+X^4 d'où le résultat de mon 5. Alors que,

R indice 4 [X] est composée de 5 polynômes

R_4 est un ensemble de polynômes composés de 5 éléments X^0 à X^4. Ce n'est pas (comme je le pensais) 1 polynôme de degré 4(effectif de 5 : 0 à 4).

Grâce à tes messages, j'ai bien intégré cette notion.

Considère le polynôme 1, ou si tu préfères la fonction polynôme P : x--> 1; combien valent P(0), P(1) et P(-1) ?

f(1) = (1;1;1)

OK
1 = X^0, j'arrive à concevoir que n'importe quel scalaire (y compris 0) à la puissance 0 est égal à 1.

P(1) est l'image de 1 par la fonction polynôme associée à P, et c'est l'évaluation en 1 de p (ce qu'on obtient en remplaçant, dans P, X par 1. ce sont des composantes non de f, mais de f(P) qui est un triplet de réels.

Peux-tu me dire si ma reformulation est correcte : est une application linéaire entre deux structures R indice 4 et R^3. Cette application linéaire contient une structure polynomiale. Enfaite, ce morphisme au lieu d'intégrer 1 scalaire (cas le plus simple, f(1) ;f(2);f(x)), il comprend une fonction polynomiale de n degrès différents.

[Tryss2]

Je n'ai rien compris à ta reformulation. "cette application linéaire contient une structure polynomiale"? "une fonction polynomiale de n degrès différents"?

Tu as d'un coté l'espace vectoriel E des polynômes de degré (au plus) 4 à coefficients réels. Les vecteurs de cet espace sont donc des polynômes
De l'autre, tu as l'espace vectoriel F des triplets de réels R^3

Et tu as f: E -> F une application linéaire entre E et F.

Ensuite, pour définir f, on remarque qu'on on peux associer à chaque polynôme P de E sa fonction polynomiale. Et calculer la valeur de cette fonction en 0, 1 et -1. ce qui donne trois nombres pour chaque polynôme P (donc un élément de R^3 si on ordonne ces nombres en un vecteur). Et on défini f(P) comme ça.

[gg0]

Ça devient n'importe quoi ! Tu copies des bouts de phrases, tu y mets des significations ?
"R indice 4 [X] est composée de 5 polynômes "
Et tu cites ce bout d'une phrase qui n'a aucun rapport avec ce que je disais !

Bon reprenons à la base. Tu es dans un exercice d'application du cours sur les espaces vectoriels. Donc on parle d'espaces vectoriels. f est une application linéaire. Donc elle prend comme antécédents des éléments d'un espace vectoriel et a comme images des éléments d'un espace vectoriel.
L'espace vectoriel de départ est , l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus 4, muni de l'addition des polynômes (P+Q est le polynôme qu'on obtient en additionnant les coefficients de même degré de P et de Q) et de la multiplication d'un polynôme par un réel (on multiplie chacun des coefficients par ce réel)
Ainsi, si et , alors et .
(tout ça c'est normalement dans tes cours).
Les images des polynômes par f sont des éléments de , c'est à dire des triplets de réels. et l'ensemble des triplets de réels est muni de l'addition des triplets et de la multiplication des triplets par des réels :
et
(tout ça c'est normalement dans tes cours).
Enfin f est linéaire, c'est à dire qu'elle a les propriétés que tu as vu dans ton cours :
et
Les opérations sont à interpréter correctement suivant que ce sont des polynômes (P, Q, ..) ou des triplets (les f(...)).

"Cette application linéaire contient une structure polynomiale." Ben non. D'ailleurs ça n'a aucun sens, cette phrase. Tu te gargarise de mots au lieu d'apprendre le cours de base ("Je pense avoir bien saisi le cours jusqu'à là" Ben non, la preuve !!) et de chercher à comprendre l'énoncé réel (bien plus simple que tes inventions).

Donc reprends les exemples élémentaires d'espaces vectoriels (les R^n, les ensembles de fonctions, en particulier de polynômes) et de sous-espaces vectoriels (en particulier les sous-espaces de polynômes de degré inférieur ou égal à n); puis étudie le cours sur les bases, pour voir ce que c'est et quelles sont les bases canoniques de certains espaces vectoriels. A mon premier message, je t'ai rappelé quelle est la base canonique de .

Bon travail d'apprentissage !

[Loosgin]

Merci pour vos multiples retours.

Je vais travailler sur ce que vous m'avez écrit,je vais essayer de le conceptualiser.

Pour ma défense, j'arrive à définir une base (permet d'exprimer d'exprimer un vecteur de façon unique dans un espace vectoriel à partir d'une famille de vecteur (=la base)).
Une application linéaire, comme vous l'avez très bien écrit, c'est la conservation des combinaisons linéaire( multiplication et addition).
Vous devez avoir raison, je connais les notions mais c'est pas pour autant que je les ai ingérées (appropriées).


Merci encore, je vais réfléchir sur vos postes et sur vos pistes (notamment l'ensemble des fonctions).

[gg0]

Quelques exercices classiques :

1) sur R^4, on définit les opérations (a, b, c, d, e, f, g, h et k sont des réels)
(a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c +g,d+h)
k.(a,b,c,d)=(ka,kb,kc,kd)
Montrer que (E,+,.) est un espace vectoriel réel.
2) Soit F(R,R) l'ensemble des applications de R dans R. On définit les opérations + et . par :
Quels que soient f et f éléments de F(R,R) et k réel, f+g : x-->f(x)+g(x) et k.f : x-->kf(x)
Montrer que (F(R,R),+,.) est un espace vectoriel
3) Soit PR l'ensemble des polynômes à coefficients réels. Montrer que PR est un sous-espace vectoriel de F(R,R) (avec les opérations de l'exercice 2
4) Soit PRn l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré maximum n. Montrer que PRn est un sous-espace vectoriel de F(R,R).
5) Montrer que (1,X,X²,...X^n) est une base de PRn (on dit que c'est sa base canonique)
6) Montrer que (1,X,X²,...X^n, ....) est une base de PR (on dit que c'est sa base canonique)
7) Soit a un réel et f : PR -->R définie par f(P)=P(0). Montrer que f est une application linéaire
8) Soit g : PR-->PR définie par g(P)=P'. Montrer que g est un endomorphisme de PR. Montrer qu'il est surjectif. Quel est son noyau ?
9) Soit h : PRn-->PRn définie par g(P)=P'. Montrer que h est un endomorphisme de PRn. Est-il surjectif ?

Voila. Quand le début d'un cours d'algèbre linéaire est vraiment appris, on sait faire ces exercices. On peut alors s'attaquer à l'exercice du message #1. Si on bute sur un de ces exercices, on ne peut pas raisonnablement faire l'exercice cité.

Cordialement.