sin(1/x) Riemann-intégrable?

[Edvart]

Bonsoir,

Juste une petite réflexion géométrique que je me suis faite dans le train aujourd'hui et qui me laisse dubitatif.
Je suis en plein cours sur l'intégrale de Lebesgue, dans lequel on m'a appris que la faiblesse de l'intégrale de Riemann était essentiellement la suivante :
Si une fonction oscille de façon "aussi serrée que l'on veut", il n'existera aucune subdivision de l'intervalle où l'on souhaite intégrer qui sera plus fine que les "périodes" des oscillations, et donc la somme de Darboux supérieure sera coincée au dessus des crêtes hautes et la somme de Darboux inférieure sera coincée en-dessous des crêtes basses. Ainsi l'écart entre les sommes de Darboux inférieure/supérieure ne pourra pas se réduire, et leur différence ne tendra pas vers , et l'intégrale de Riemann de cette fonction ne sera pas définie.

Naïvement je me fais la conclusion suivante : une fonction qui oscille aussi vite que je veux, par exemple , ne peut pas être intégrée au sens de Riemann : pour toute subdivision de , il existe un voisinage de de longueur strictement positive dans lequel la fonction Darboux supérieure vaut 1 et la fonction Darboux inférieure vaut -1, et c'est raté pour l'intégrale de Riemann.

Pourtant, en cherchant sur le net, je trouve qu'il est possible d'intégrer , et que cette intégrale vaut . Pourtant il me semble que j'ai raison géométriquement de penser que cette fonction n'est pas Riemann-intégrable non?

Merci d'avance de vos lumières
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[JB2017]

Bonjour
Une fonction continue continue presque partout sur [0,1] et bornée est Riemann-Integrable. C'est la cas de sin(1/x).
L'insuffisance de l'intégrale de Rieamnn est donc ailleurs.

A ma connaissance l'insuffisance vient de ce que si l'on représente une fonction Riemann-intégrable par un élément de par l'intermédiaure de ces coefficients de Fourier, cet espace n'est pas complet alors que l'espace l2(Z) lui est complet

[JJacquelin]

est une fonction spéciale : https://fr.wikipedia.org/wiki/Cosinus_int%C3%A9gral
Si vous n'êtes pas familiarisé avec l'utilisation des fonctions dites "spéciales", cet article de vulgarisation : https://fr.scribd.com/doc/14623310/S...ions-speciales

[Schrodies-cat]

Bonsoir,
(...)
Naïvement je me fais la conclusion suivante : une fonction qui oscille aussi vite que je veux, par exemple , ne peut pas être intégrée au sens de Riemann : pour toute subdivision de , il existe un voisinage de de longueur strictement positive dans lequel la fonction Darboux supérieure vaut 1 et la fonction Darboux inférieure vaut -1, et c'est raté pour l'intégrale de Riemann.

(...)

Oui, mais c'est sur un intervalle aussi petit qu'on veut.

[A voir en vidéo sur Futura]