Le paradoxe de Russell, quelqu'un pour expliquer svp?

[Tengri]

bonjour à tous,

j'ai vraiment du mal à comprendre car je n'arrive pas à visualiser les choses , je cite wikipedia:


"On peut formuler le paradoxe ainsi : l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble n'appartiennent pas à eux-mêmes, il n'appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction à nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend l'existence d'un tel ensemble paradoxal"

Que signifie la notion d'appartenance exactament?

Pourquoi si les membres d'un ensemble ne s’appartiennent pas, le tout ne s'appartiendrait pas? C'est déjà une première question
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[Médiat]

Bonjour,

La définition de l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes est : , adaptée à lui-même, cette définition devient ce qui est manifestement contradictoire.

Il n'est même pas utile d'avoir une compréhension sémantique de l'appartenance.

[Tengri]

mais que signifie "appartenir" dans ce paradoxe?

C'est une identité de soi à soi ou c'est être inclus dans quelque chose de plus global?

[gg0]

Bonjour.

la notion d'appartenance est un élément de base de la notion d'ensemble. Il y a deux notions intuitive, la notion d'élément et celle d'ensemble. Si x est un élément et E un ensemble, soit x appartient à E, soit x n'appartient pas à E. par exemple 1,2 et 3 sont les éléments de {1,2,3}, et 1 appartient à {1,2,3}; 4 n'appartient pas à {1,2,3}.
Dans une version moins élémentaire de la théorie des ensembles, la notion d'élément ne sert plus à rien (tout est ensemble). Et seule reste la notion d'appartenance.

En fait, la "signification" de "appartient" ne sert pas, on traduit simplement la phrase "ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes". Si on appelle E cet "ensemble", alors soit il appartient à lui même, il est élément de E, donc, par définition de E est un "ensembles[] n'appartenant pas à [eux]lui-même". ce qui est contradictoire. Soit il n'appartient pas à lui même, il n'est pas élément de E, donc, par définition de E, il doit appartenir à E, appartenir à lui-même. Encore une contradiction.

En écrivant ça, je me contente de relire le texte en répétant certaines parties. Ce que tu aurais pu faire toi-même. Il n'y a rien de plus dans l'explication du paradoxe.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tengri]

Bonjour.

la notion d'appartenance est un élément de base de la notion d'ensemble. Il y a deux notions intuitive, la notion d'élément et celle d'ensemble. Si x est un élément et E un ensemble, soit x appartient à E, soit x n'appartient pas à E. par exemple 1,2 et 3 sont les éléments de {1,2,3}, et 1 appartient à {1,2,3}; 4 n'appartient pas à {1,2,3}.

Jusque là ok, mais alors le reste ...

[gg0]

Ben .. le reste est à comprendre par toi, à lire pour comprendre la structure des phrases et ce qu'elles disent.

La compréhension, c'est dans ta tête; les "explications" ne remplacent pas ta propre volonté de comprendre.

Un paradoxe analogue, qui t'aidera peut-être à comprendre :
Dans ce village, il y a un barbier. Ce barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement eux. Le barbier se rase-t-il ?

[Tengri]

Si l'ensemble appartient à lui même pourquoi (en même temps) n’appartiendrait il pas à lui même au motif que ce qui est contenu dedans n'appartient pas à soi même?

Je vois pas de rapport de cause à effet.

[gg0]

Autrement dit tu n'as pas compris l'idée que "l'ensemble des trucs" dit que les "trucs" sont exactement les éléments de l'ensemble, que chaque "truc" appartient à l'ensemble et qu'aucun "truc" ne lui appartient pas.
Tu donnes l'impression de ne pas connaître le mot français "ensemble" ("l'ensemble des habitants de la Martinique") !

A moins que tu veuilles dire que tu ne vois pas de contradiction dans le fait de à la fois s'appartenir et ne pas s'appartenir. Dans ce cas, je ne peux rien pour toi (rien n'est paradoxal pour toi).

[Tengri]

A moins que tu veuilles dire que tu ne vois pas de contradiction dans le fait de à la fois s'appartenir et ne pas s'appartenir. Dans ce cas, je ne peux rien pour toi (rien n'est paradoxal pour toi).

Non pas du tout !

Le problème est au niveau de la définition de l'appartenance! Si je comprends bien, dans un tel paradoxe, s'appartenir signifie exister tandis que ne pas s'appartenir signifie ne pas exister.

D'après mes recherches je ferais une confusion entre la notion d’appartenance et la notion d'inclusion. Peut être est ce la cause de mon incompréhension.

[gg0]

Rien à voir avec l'existence.

Encore une fois, si tu comprends que l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes est un ensemble dont les éléments (les choses qui lui appartiennent) sont exactement les ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes, le reste n'est que de la traduction de cette définition. Inutile même de chercher un sens, c'est purement l'utilisation de la définition.

Il est possible que tu confondes avec l'inclusion, mais elle n'intervient en rien ici.

Ce qui est bizarre dans tes difficultés, c'est que la seule chose qui sert est la notion intuitive d'ensemble (celle de la définition du dictionnaire). Donc tu cherches sans doute des subtilités qui n'y sont pas, ou bien tu refuses d'appliquer strictement la définition de l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-même. Ou tu ne veux pas accepter le résultat (problème psychologique ?).

[Merlin95]

Tu prends un ensemble qui n'appartient pas à lui-même.
Par exemple : {1}
Cela correspond à l'idée intuitive d'un ensemble *.
Tu prends tous ces ensembles, pour tenter de définir un nouvel ensemble, il s'agit donc des ensembles des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-même.

Maintenant tu te demandes si cet ensemble appartient à lui-même. Si il appartient à lui-même par définition, il n'appartient pas à lui-même. Et si il appartient à lui-même, toujours par définition, il n'appartient pas à lui-même. Dans tous les cas il y a une contradiction. Comment résoudre le problème ? Hé bien on dit que l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent à eux-même n'est pas un ensemble mais une classe un autre objet qui permet de considérer l'ensemble de tous les ensemble sans paradoxe.

(*) Un ensemble e s'appartenant à lui même pourrait être défini par quelque chose du genre e = {1, e} (je suis pas sûr que ce soit correct, mais c'est pour donner une idée) c'est un peu difficile à conceptualiser mais il est tout à fait possible de définir de tels ensembles. Mais ici on ne s'intéresse pas à ce genre d'ensembles, mais seulement à ceux qui n'appartiennent pas à eux-même.

[invite36041331]

Bonsoir,


Je ne sais pas si tu es plus famillier avec la théorie des graphes, si c'est le cas un ensemble, n'est rien d'autre qu'un graphe orienté (avec si x appartient à e, on a une arrête orientée de x vers e), avec la propriété, si 2 sommets du graphes ont les même éléments qui leurs appartiennent respectivement, alors les 2 sommets forment en fait un même sommet.


Cordialement.

[Schrodies-cat]

En théorie des ensembles tous les objets dont on parle sont des ensembles.
Le but de son élaboration était d'avoir une théorie unique permettant de parler de tous les types d'objets qu'utilisaient les mathématiciens.
Étant donnés deux ensembles A et B, on peut se poser la question: est ce que A ∈ B ou non.
Étant donné un ensemble A, on peut se demander s'il appartient à lui même ou non.

Une approche naïve de la théorie des ensemble, celle de Cantor, est de considérer qu'on peut toujours définir un ensemble comme l'ensemble des ensembles satisfaisant une certaine propriété.
Ainsi on peut considérer l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux même.
Russel a montré que cela conduisait à des contradictions.

Pour éviter cela, les mathématiciens ont conçu la théorie ZF des ensembles, dans laquelle divers axiomes permettent de définir des ensembles satisfaisant certaines propriétés.
On n'y a pas jusqu'à présent trouvé de contradictions.

Note: par propriété, j'entends propriété s'exprimant dans le langage de la théorie des ensembles.