Solution réelle d'une équation différentielle

[MidoXSan]

Bonjour,

En fait j'ai un soucis concernant la transition de mes solutions complexes vers les solutions réelles dans une équation différentielle.
Si y est une solution complexe de mon équadiff, Re(y) + Im(y) est-elle solution réelle ?

Aussi, si j'ai une solution de type Acos(x) + Bsin(x), est-ce que A et B sont totalement arbitraires ? Car dans certaines équations différentiels, on trouve quelque chose du type (c1+c2)cos(x) + (c1-2c2)sin(x) et j'ai l'impression que A est fonction de B dans ce cas ...

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Pour ta première question, dans le cadre vaste des équations différentielles quelconques, je ne vois pas de raison pour que ce soit vrai, ni même qu'il y ait des solutions réelles. mais je suppose que tu es dans une situation particulière, que je te laisse préciser.

Pour la deuxième question, elle revient à demander si en faisant varier C1 et C2, on obtient toutes les valeurs possibles des coefficients, donc si le système :
C1+C2=A
C1-2C2=B
a toujours des solutions. Et tu sais résoudre ce problème (*) et voir que oui.

Cordialement.

(*) ici, déterminant du système égal à -3.

[MidoXSan]

Ah oui, j'aurai du préciser que c'est pour des équations différentielles linéaires à coefficient constant. (C'est bien juste dans ce cas ?)

Et aussi par rapport à la deuxième question, effectivement j'ai posé un système, le déterminant du système étant différent de 0, on peux donc bien dire qu'on obtient toutes les valeurs possibles des coefficients.

Là ou je voulais en venir justement, c'est au niveau des systèmes différentiels. Par exemple si j'ai un système de type x'=f(x,y) et y'=g(x,y), puis que je trouve au final quelque chose du type :
x = (c1+c2)cos(t)+(c1-2c2)sin(t) et y = (2c1+c2)cos(t)+(-c1-c2)sin(t) alors là en posant A = c1+c2 et B=c1-2c2, j'aurai que les C et D de y = Ccos(x) + Dsin(x) seront fixés, non ? pourtant au final il me faut que c1,c2 appartiennent à IR

[gg0]

Si ce sont des équations linéaires du second ordre à coefficients constants, sans second membre, dans le cas où le polynôme caractéristique est de discriminant négatif, tes solutions de base sont conjuguées, donc leur demi-somme et leur demi différence sont des solutions (combinaisons linéaires de solutions). Or la de- somme est la partie réelle, la demi différence est la partie imaginaire, donc Re(y) et Im(y) sont des solutions. Dans ce cas, Re(y) + Im(y), somme de deux solutions est bien solution. Je ne vois pas l'intérêt de ce cas particulier, la solution générale étant ARe(y) + BIm(y).

Dans le deuxième problème (que tu as changé !! dans le message #1 il n'était pas question de système différentiel) comme c'est un système différentiel, c'est normal que y et x soient liés. Mais les coefficients c1+c2 et c1-2c2 prennent n'importe quelles valeurs réelles. Rien ne t'interdit de poser A = c1+c2 et B=c1-2c2 et d'exprimer alors les coefficients de y à partir de A et B.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MidoXSan]

Effectivement, ça m'a rappellé une propriété du cours, si y est solution de P(D)y=b(x) alors Re(y) est solution de P(D)y=Re(b(x)) et Im(y) est solution de P(D)y=Im(b(x)).
Dans le cas d'une équation différentiel d'ordre n homogène, si y est solution de P(D)y=0, alors Re(y) est solution de P(D)y=Re(0)=0 et Im(y) est solution de P(D)y=Im(0)=0 Donc
si j'ai bien compris, Re(y) par exemple serait bien une solution d'une équation homogène d'odre n à coefs constants ?