Montrer quune suite converge

[sleinininono]

Bonsoir !
Il y a un point que je n'arrive pas à saisir dans les methodes pour montrer la convergence d'une suite.

Si on definit u_n par récurrence et j'arrive à trouver une valeur pour la limite ( en utilisant l'unicité de la limite ), quelles sont les conditions dont j'ai besoin pour que la suite converge ?

est ce que en disant que la suite est bornée dans un intervalle puis bolzano weirstrass, ou en disant que la suite est bornee et monotone, cela suffirait pour avoir que la limite est celle trouvée ?

J'avais entendu qu'il fallait une autre condition, que la suite puisse atteindre ce point. I.e. que la limite soit bien un point d'adhérence (si je me trompe pas)


Par ailleurs si on suppose que la suite peut avoir plusieurs limites ( du style on a un polynome à resoudre avec l unicité de la limite ).
Comment faire là encore ? De la façon que j'ai exposé precedemment mais en etudiant pour les x d'un intervalle précis ?

Je vous remercie pour vos reponses,

Cordialement

Sleinininono
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[gg0]

Bonjour.

Tu ne peux trouver une valeur de limite que s'il y a une limite. Donc tu peux utiliser tout l'arsenal des théorèmes de ton cours pour justifier qu'il y a une limite. A condition de bien les connaître. Par exemple "la suite est bornée dans un intervalle" ne dit pas qu'elle a une limite.
Donc la priorité est de connaître vraiment les théorèmes, au mot près (ou en avoir une vraie connaissance).

Et il n'y a pas de méthode qui marche dans tous les cas, pas de méthode miracle; il faut réfléchir, chercher. Utiliser son expérience de cas similaires.

Cordialement.

[sleinininono]

Donc en demontrant quune suite converge dans un intervalle et que la seule possibilite cest la limite calculée je demontre que u_n -> l ?

[gg0]

Oui. C'est assez évident, non ?

Pour les exercices délicats, c'est être sûr qu'il y a une limite qui est difficile. D'où l'intérêt des théorèmes de point fixe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Schrodies-cat]

Un contre-exemple vaut mieux qu'un long discours.
Considère des suites définies par la relation de récurrence u_n+1 = - u_n.
Il est facile montrer que si elles ont une limite, cela ne peut être que 0, qu'elles sont bornées et pourtant ...