Point fixe de brouwer

[henryallen]

Bonsoir

Je suis en Première S et quelqu'un m'a parlé du théorème du point fixe de brouwer en me disant de chercher des informations dessus, chose que j'ai faite ... Un peu en vain. Disons que les sites que j'ai trouvés sont assez compliqués (chose normale direz-vous, puisque ce théorème est, je crois bien, étudié après le bac). Je me demandais s'il était possible d'expliquer ce théorème de façon simple (mais probablement incomplète) à un élève de mon niveau ... J'ai juste compris (et encore, c'est à voir) que certaines fonctions, dans certains cas, peuvent avoir un point tel que f(x)=x.

Merci d'avance et bonne soirée

(J'avoue que j'ai hésité entre poster ici ou dans la catégorie collège et lycée, puis je me suis dit que c'était peut-être mieux ici ...)
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[slivoc]

Salut !

Que n' as-tu pas compris ? est-ce les notions ? de continuité, espace euclidien, applications entre " objets qui ne sont pas des nombres" (mais des vecteurs par exemple) ? Par exemple la page wikipedia me semble assez claire https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ixe_de_Brouwer . Une version plus simple est normalement vue en terminale il me semble, comme corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Celle-ci affirme que toute fonction continue d' un intervalle [a,b] dans lui-même admet au moins un point fixe. C' est assez facile de s' en convaincre en prenant l' intervalle [0,1], si tu te donnes f:[0,1] -> [0,1] continue ( une façon intuitive de voir la continuité dans ce cas est de voir que tu peux tracer le graphe de f sans lever ton stylo, ou encore que les images de 2 points suffisamment proches, sont aussi proche que tu le souhaites ), en traçant son graphe, tu te rends comptes que le graphe de f coupe forcément l' axe y=x, et c' est exactement dire que il existe un x tel que f(x)=x.

Bonne soirée !

[albanxiii]

Bonjour,

Celle-ci affirme que toute fonction continue d' un intervalle [a,b] dans lui-même admet au moins un point fixe.

Il manque une hypothèse pour que ceci soit vrai. Ou alors vous sous entendez que l'image de [a,b] par f est [a,b] (mais dans ce cas, je préfère le dire).

henryallen, le théorème de Brouwer est un théorème très général et on peut l'énoncer sous différentes formes, en fonction du cadre dans lequel on se place. Certains sont compréhensibles avant le bac, d'autres nécessitent un bac+3 en mathématiques. La façon dont slivoc vous le présente devrait être très compréhensible pour vous, une fois l'hypothèse manquante explicitée.

[God's Breath]

Bonjour,

Ou alors vous sous entendez que l'image de [a,b] par f est [a,b] (mais dans ce cas, je préfère le dire).

La surjectivité de f n'est pas nécessaire…

[A voir en vidéo sur Futura]

[Schrodies-cat]

Dans le cas d'une application f continue d'un intervalle [a , b] dans lui même, tu peux considérer le signe de f(x)-x en x=a et x=b .
Pour les dimensions supérieures, je ne vois pas de démonstration élémentaire.

[minushabens]

Pour les dimensions supérieures, je ne vois pas de démonstration élémentaire.

moi non plus. La preuve que je connais utilise des notions de topologie algébrique, pas très élaborées mais assez loin du niveau de la classe de première.

[Schrodies-cat]

Sinon, une petite démonstration dans le cas de la dimension 2 :
http://sandrine.toonywood.org/pagepe...eg/brouwer.pdf

[slivoc]

Bonjour,

albanxiii : comme l' a montré Schrodies-cat, la surjectivité n' est pas nécéssaire, et, peut etre que la seule ( ? ) chose que je n' ai pas précisée était de dire que [a,b] était vu comme intervalle de R ( plus vrai si c' est un intervalle de Q par exemple).

Sinon peut etre qu' il faudrait attendre de voir ce qui pose problème à henryallen. Mais dans sa question il n' avait pas évoqué la preuve, mais juste une façon de comprendre le théorème, sans nécessairement rentrer dans la preuve.Peut etre qu' un dessin pourrait l' aider à comprendre ?

Bonne journée !

[Schrodies-cat]

Sans parler de topologie algébrique, il me semble que l'existence d'un rétractation du disque sur le cercle impliquerait que le cercle est simplement connexe, ce qui est faux.
Reste à montrer que le cercle n'est pas simplement connexe.

[Schrodies-cat]

Pour montrer que le cercle n'est pas simplement connexe,on peut passer par l'intégration de formes différentielle, pas élémentaire.

Il doit y avoir moyen de traiter cette question avec la notion, assez intuitive,d'indice d'un point par rapport à une courbe.

[henryallen]

Bonjour, et tout d'abord merci pour vos réponses !

Dans les différentes explications que j'avais lues, je tombais sur la notion de "boule fermée", que je ne comprenais pas (et que je ne comprends toujours pas, mais je suppose que ça attendra ...).

Schrodies-cat: je n'ai pas vraiment compris votre première réponse, mais je ne sais pas non plus si elle m'était directement adressée

Sinon, soit, je m'en tiendrai au fait, comme l'a dit slivoc, que toute fonction continue d'un intervalle [a,b] dans lui-même admet au moins un point fixe. Cependant, je suis tombé sur un site disant que par exemple, si l'on prend une carte d'une ville et qu'on la jette aléatoirement au sol (dans cette même ville), alors un point de la carte se trouvera exactement sur le point qu'il désigne (le point fixe serait celui-ci ?). Je ne comprends pas en quoi le théorème de Brouwer montre ceci, mais je suppose que je ne peux pas espérer tout comprendre vu mon niveau actuel ... De même pour le théorème de la boule chevelue (dont m'avait parlé la personne qui m'a parlé du théorème de Brouwer).

En tout cas merci encore pour vos réponses, et bonne soirée

[gg0]

L'exemple de la carte est exactement l'application du théorème de Brouwer dans ce cas : On associe à chaque point de la carte celui du sol qui est à sa verticale.

Cordialement.

[God's Breath]

Tu as une application de la ville dans elle-même qui à un M point de la ville, représenté sur la carte par le point m, associe le point M' de la ville où se trouve le point m de la carte jetée sur le sol.

Exemple : tu jettes un plan de Paris sur la place de l'Étoile ; alors l'image de la Tour Eiffel (la vraie !) M est le point M' de la place de l'Étoile où se trouve la représentation m de la Tour Eiffel sur le plan.

Cette application a un point fixe, M, qui est représenté sur la carte par le point m qui se trouve précisément à l'emplacement f(M)=M.

[slivoc]

Bonsoir,

Juste une petite précision pour Henryallen: en topologie, un carré, un rectangle, un losange... tout ça c' est comme un disque, ils sont homéomorphes. Donc même si la ville ne ressemble pas à un disque géométriquement, mais que de façon topologique s' en est un, alors le théorème de brouwer s' applique encore.

Pour Schrodies-cat: il me semble que ça se fait assez bien en analyse complexe, en remarquant que le cercle et C* ont même type d' homotopie ( donc, comme ils sont connexes par arcs, ils ont même groupes fondamentaux) et avec un théorème qui dit que si U est un ouvert simplement connexe de C, alors l' intégrale sur tout chemin fermé de U ( C^1 par morceaux il me semble est suffisant) d' une fonction holomorphe est nul, puis de considérer la fonction 1/z sur le cercle unité dans C* et remarquer que son intégral n' est pas nul. Mais, personnellement, je préfère une preuve possible par les revêtement ( qui n' utilise pas le groupe fondamental ), qui est bien plus intuitive et qui peut presque s' expliquer avec des dessins !

Bonne soirée !

[albanxiii]

Merci à God's Breath et slivoc d'avoir corrigé mon message.

[Schrodies-cat]

(...)
Sinon, soit, je m'en tiendrai au fait, comme l'a dit slivoc, que toute fonction continue d'un intervalle [a,b] dans lui-même admet au moins un point fixe. Cependant, je suis tombé sur un site disant que par exemple, si l'on prend une carte d'une ville et qu'on la jette aléatoirement au sol (dans cette même ville), alors un point de la carte se trouvera exactement sur le point qu'il désigne (le point fixe serait celui-ci ?). Je ne comprends pas en quoi le théorème de Brouwer montre ceci, mais je suppose que je ne peux pas espérer tout comprendre vu mon niveau actuel ... (...)

En tout cas merci encore pour vos réponses, et bonne soirée

Si la carte est dépliée proprement, cela se fait avec un peu d’algèbre linéaire. Si la carte est froissée ou pliée, cela marche aussi, mais il faut des outils mathématiques plus puissants.

[invite36041331]

Salut,

Juste une petite précision pour Henryallen: en topologie, un carré, un rectangle, un losange... tout ça c' est comme un disque, ils sont homéomorphes. Donc même si la ville ne ressemble pas à un disque géométriquement, mais que de façon topologique s' en est un, alors le théorème de brouwer s' applique encore.

Une étoile de David est homéomorphe à un disque et pourtant le théorème de point fixe de Brouwer ne s'y applique pas (mais marche quand même).

PS : une étoile de David est compact mais pas convexe.

Cordialement.

[Schrodies-cat]

En fait, l'application qui fait correspondre un point de la ville au point qui le représente sur la carte est une similitude. (si la carte est bien dépliée, posée à plat).
Voir donc les similitude du plan, qu'on peut pour plus de commodité traiter à l'aide de nombre complexes.

[God's Breath]

Une similitude ne peut transformer une calotte du géoïde en un rectangle.

[Schrodies-cat]

A l’échelle d'une ville, "la terre est plate" est une bonne approximation.

[henryallen]

Merci à tous pour vos réponses ! Bonne fin de journée et à bientôt