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point fixe

  1. hibabel

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    121

    point fixe

    Bonjour a tous , je me bloque dans un exercice sur le point fixe , je souhaite que vous puissiez m'aider .
    Voila l'exerice :
    Soit un espace vectoriel E de dimension finie norme de la norme N .
    Soit f une application de E dans E telles que :
    il existe un alpha qui appartient a ]0,1/2[ , quelque soit (x,y) appartient a E^2
    N(f(x)-f(y))<alpha [ N(f(x)-x)+N(f(y)-y)]
    Montrer que f admet un point fixe unique

    merci pour vos aides

    -----

     


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  2. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 555

    Re : point fixe

    Comme souvent dans ces problèmes de point fixe, on étudie une suite définie par son premier terme quelconque et par la relation de récurrence : .
    On commence par prouver que cette suite est convergente. C'est en général le point délicat, qui nécessite généralement la complétude de l'espace dans lequel on travaille.
    On démontre ensuite que la limite de cette suite est un point fixe de , et on termine en établissant l'unicité du point fixe; cette partie est souvent plus facile.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  3. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    185

    Re : point fixe

    Bonjour je n'ai pas vraiment la solution mais un début de résolution qui peut toujours servir.
    On applique l'hypothèse à y=f(x).
    On arrive facilement donc à |f(x)-f(f(x))|< a/(a-1) |f(x)-f(f(x))| ( valeur absolue pour norme et a pour alpha)
    On pose k=a/(a-1) et on a 0<k<1.
    Soit x_0 quelconque et la suite x_{n+1}=f(x_n).

    On a alors |x_{n+1}-x_n|<k |x_n-x_{n-1}| et on montre grâce à cela que la suite x_n est de Cauchy (car k<1) , donc converge (on est en dimension finie)
    vers un nombre c \in E .

    Si f est continue c'est terminé car à la limite on obtient c=f(c). De plus il est facile de voir que le point fixe s'il existe il est unique.

    Pour finir la démonstration il reste à montrer que f est continue.
     

  4. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    185

    Re : point fixe

    Rebonjour
    on n'a pas besoin de savoir que f est continue
    En effet on applique l'hypothèse à x=c et y=x_n.
    En faisant tendre n vers l'infini obtient directement que c est point fixe (unique)
     

  5. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 392

    Re : point fixe

    Après, telle qu'énoncée ici, l'inégalité de l'hypothèse permet aussi de prouver que f n'a pas de point fixe.

    Soit x0 un point fixe de f, alors l'hypothèse appliquée à x=y=x0 entraine que 0<0 : contradiction
     


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  6. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    185

    Re : point fixe

    Bonjour Oui Tryss c'est exact. D'ailleurs j'aurai dû m'en rendre compte.
    En fait je pense que l'inégalité est donnée au sens large. Je pense que ma démonstration résiste au cas où l'inégalité est large.
    Sinon on reste sur ta remarque.
     

  7. hibabel

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    121

    Re : point fixe

    bonjour , voila la redaction ;
    On a E est un espace vectoriel norme de dimension finie , donc E est un complet , donc fermee . Donc il existe une suite (un) des elements de F convergent dan (F,N) ( je me doute de cette phrase si elle doit etre ecrite ou ecrire seulement supposons qu'il existe une suite (un) ) u0=xet u{n+1}=f(u{n})
    montrons que (u{n}) est de cauchy
    supposons que y=f(x) donc N(f(f(x)-f(x))<=k N(f(x)-x) t k= a/(1-a) et 0<k<1
    N(u{n+p}-u{n}<=sigma de i=0 a p-1 k^(n+i) N(u{1}-u{0}) =k^n*(1-k^p)/(1-k) *N(u{1}-u{0}) <=k^n/(1-k) N(u1-u0)
    don lim N(u{n+p}-u{n})=0 donc un est de cauchy , don convergente vers s puisque l'espace est complet
    lim u{n+1}=lim f(u{n})
    don s=f(s) et donc admet un point fixe
    je me doute just un peu de la redaction

    Tryss2 en fait c just une faute de frappe c plutot <=
    merci bcp JB2017 ,God's Breath et Tryss2 pour l'aide ^_^
     

  8. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 715

    Re : point fixe

    Citation Envoyé par hibabel Voir le message
    lim u{n+1}=lim f(u{n})
    don s=f(s) et donc admet un point fixe
    ça à mon avis c'est un peu court.

    si tu poses l=lim u(n) tu doit montrer que f(l)=l. Tu peux montrer que la distance entre l et f(l) est plus petite que tout epsilon fixé à l'avance.
     

  9. hibabel

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    121

    Re : point fixe

    je dois demontrer que l=f (l) ou plutot que lim f(un) =f(l) ?
     

  10. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    185

    Re : point fixe

    Rebonjour
    On est d'accord que la suite suite converge vers un élément s de E.
    Comme la suite est définie par la relation u_{n+1}=f(u_n) on a envie de dire que s=f(s). Mais pour cela il faut l'hypothèse f est continue.
    Mais ce n'est pas une hypothèse. De plus je ne suis pas sûr que les hypothèses impliquent que f est continue. Il faut donc voir l'indication que j'ai donnée dans un message précédent
    i.e

    on n'a pas besoin de savoir que f est continue
    En effet on applique l'hypothèse à x=s et y=x_n.
    En faisant tendre n vers l'infini obtient directement que s est point fixe (unique)
    Dernière modification par JB2017 ; 02/01/2018 à 13h46.
     

  11. hibabel

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    121

    Re : point fixe

    Bonsoir ,
    mais ne puis-je pas ecrire tous simplement que lim f(un)=f(lim (un)) ?
     

  12. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 602

    Re : point fixe

    Tu peux l'écrire, mais peux-tu le justifier ?

    Pour une fonction quelconque, c'est faux.
     

  13. hibabel

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    121

    Re : point fixe

    dans le cas ou y=f(x) la fonction est lipschitizienne donc elle est continue .
    dans ce cas on a u{n+1}=f(u{n}) donc on peut l'appliquer ?
     

  14. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 602

    Re : point fixe

    Je ne comprends pas. Si c'est ta fonction f du début, tu ne sais rien de plus que l'hypothèse, pas qu'elle est lipschitzienne.
     

  15. hibabel

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    121

    Re : point fixe

    donc je dois montrer que lim f(un)=f(s) donc que lim N(f(un)-f(s))=0
    on suppose que lim f(un)=f(s) don s=f(s)
    N(f(un)-f(s))<=a(N(f(un)-un)+N(f(s)-s)<=ak^n *N(u1-u0)
    lim N(f(un)-f(s))<=lim ak^n*N(u1-u0)
    donc 0<=0 ce qui est vrai
    donc lim f(un)=f(s)
     


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