Bonjour!
Soit f:[0,1]→[0,1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe.
Bon, ma réponse:
On pose g(x)=f(x)−x
g est une fonction continue, et on a g(0)≥0 et g(1)≤0.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c∈[0,1] tel que g(c)=0. En particulier, f(c)=c.
Je ne comprend pas à quoi sert l’hypothèse "f est une fonction croissante", le résultat peut être démontré sans l'utiliser!
Merci d'avance!
Rien n'indique dans ton énoncé que f est continue
Ah d'accord, c'est toute la démonstration qui change donc !
Bonsoir,
Il s'agit d'une application du T.V.I, il n'y a pas besoin de croissance, cela aurait été nécessaire pour utiliser le théorème de Bijection dont les hypothèse sont : Continuité, monotonie, bornes et tu aurais put avoir l'unicité du zéro.
MSKOH
Non, non, RacineDelta,
tu es à côté de la plaque ! Ce n'est justement pas une application du TVI, puisque l'hypothèse de continuité n'y est pas.
L'énoncé parle de fonction croissante, pas de fonction continue ...
Cordialement.
Merci, mais alors g n'est pas forcément continue ?
MSKOH
Non, puisque ce n'est pas dit par l'énoncé.
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
