Polynômes premiers entre eux

[Aldaron]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice que je dois présenter à l'oral lundi mais je bloque un peu

Voilà l'énoncé :

Montrer que les polynômes complexes P = X^2017 + X + 1 et Q = X^5 + X + 1 sont
premiers entre eux.

Mon prof m'a dit de raisonner par l'absurde en supposant qu'ils avaient une racine en commun, c'est à dire qu'il existe a tel que a²⁰¹⁷+a+1=0 et a⁵+a+1 = 0
Le problème c'est que je ne vois pas du tout ce qu'il faut faire pour tirer une contradiction de ceci.

Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance
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[JB2017]

donc a^(2017)=a^5
a ne pouvant être nul donc a^2012=1

donc a est de module 1
posons a= e^{it}
alors 0=a^5+a+1
implique 1+a=-a^5 est de module 1.

trouver les seules valeurs possibles de t la contradiction va tomber

[Aldaron]

Je trouve t = modulo 2pi ou t =

En vérifiant avec t= ça ne marche pas dans la 1ère équation et pour t = ça ne marche pour aucune des deux.

D'où la contradiction je suppose

Merci bien !

[JB2017]

Bonjour
Oui c'est cela.

[A voir en vidéo sur Futura]