une suite croissante puis décroissante, cela existe-t-il ?

[Médiat]

Le cardinal des réels définissable est
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[andretou]

Le cardinal des réels définissable est

Il est donc égal au cardinal des entiers naturels ?

[Médiat]

A l'évidence.

[andretou]

Mais quelle est la différence entre l'ensemble des réels et l'ensemble des réels définissables ?
Pourquoi n'est-ce pas le même ensemble ?

[Médiat]

Pourquoi n'est-ce pas le même ensemble ?

Parce qu'ils n'ont pas le même cardinal

[andretou]

Mais qu'est-ce qu'un réel non-définissable ?

[ansset]

je ne suis pas certain qu'il y ait un consensus total sur l'emploi justifié de cet adjectif.
( vu une polémique à ce sujet sur le wiki, qui ne vaut peut être pas tripette ? )

[minushabens]

Mais qu'est-ce qu'un réel non-définissable ?

quel est le plus petit réel positif non-définissable?

[Médiat]

Bonjour,

je ne suis pas certain qu'il y ait un consensus total sur l'emploi justifié de cet adjectif.
( vu une polémique à ce sujet sur le wiki, qui ne vaut peut être pas tripette ? )

Il n'y a aucune ambiguïté, il existe certes plusieurs définitions, mais elles sont équivalentes, la plus simple conceptuellement est :

Un nombre réel est définissable au premier ordre dans le langage de la théorie des ensembles s'il existe une formule du premier ordre dans le langage telle que soit le seul nombre réel vérifiant .

Il est vrai que rien n'interdit de changer le langage (et prendre celui de AP par exemple) ou la logique, l'adaptation à ces cas est triviale, mais en absence de précision c'est bien la définition ci-dessus qui est prise en compte

[andretou]

quel est le plus petit réel positif non-définissable?

Tu veux dire que le plus petit réel positif n'est pas définissable ?

[andretou]

Le cardinal des réels définissable est

Je n'arrive pas à comprendre. L'argument de la diagonalisation (découvert par Cantor pour démontrer que le cardinal des réels est supérieur au cardinal des entiers) ne fait-il pas exclusivement appel à des réels définissables ?

[ansset]

merci pour votre explication Médiat, le petit article à ce sujet sur wiki m'était assez obscur, avec une sorte de non-conclusion.
De fait, je n'avais que la première qui me semblait admise. ( en tant que définition )

[pm42]

merci pour votre explication Médiat, le petit article à ce sujet sur wiki m'était assez obscur, avec une sorte de non-conclusion.

Il y un exemple sympa pour ça. Si je te dis "je te donne une partie de N, donne moi une méthode pour en extraire 1 élément", tu vas me répondre "je prend le plus petit".
Après, tu peux étendre cette méthode et avoir un algorithme qui te permet d'extraire un élément de tout ensemble dénombrable que je te décris.

Maintenant, essaie de me donner une méthode équivalente qui te permet d'extraire un élément de toute partie de R que je te donnerais.

[ansset]

j'ajoute que la mention de cette définition est le moyen le plus direct d'en déduire le cardinal de cet ensemble.
d'avantage que les autres explications , me semble t il.

[ansset]

les autres suggestions de réflexion ( sans dénaturer leurs pertinences ) vont induire naturellement que l'ensemble des nb définissables est non dénombrable.
Pour autant, ce constat n'amènera qu'à dire que son cardinal est inf à celui des l'ensemble des réels.
Pour en conclure qu'il n'est que , il faut y ajouter l'hypothèse du continu, qui est indécidable dans ZFC

[ansset]

mal dit ( donc faux ) :

les autres suggestions de réflexion ( sans dénaturer leurs pertinences ) vont induire naturellement que l'ensemble des nb nondéfinissables est non dénombrable.