petite question Topologie

**miido** · 12/02/2018, 13h27

Soit $\text{[math]}$ un ouvert non vide de $\text{[math]}$ .

Pour tout $\text{[math]}$ on pose :

$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ une suite de compacts dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ désigne frontière de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ la boule ouverte de centre $\text{[math]}$ et de rayon $\text{[math]}$ .

Je cherche à montrer que : $\text{[math]}$ .

Je vous remercie d'avance de bien m'expliquer, car j'ai essayé, mais je n'arrive pas.

**Deedee81** · 12/02/2018, 13h44

Salut,

Il est clair que l'union sera au plus U.

Soit un point y, appartenant à U, qui est à distance d1 de 0, et à distance d2 de la frontière (d2 est positif puisque c'est un ouvert).
Il este à prouver que quelque soit d1 et d2, il est existe un p suffisamment grand pour que les deux inégalités de la définition soient satisfaites, ce qui est assez trivial. Donc y appartient à ce Fp.

**Anonyme007** · 12/02/2018, 14h06

Bonjour,

Il est claire que : $\text{[math]}$ .
Il reste à montrer que : $\text{[math]}$ :
Soit $\text{[math]}$ :
Puisque $\text{[math]}$ est un ouvert, alors :
$\text{[math]}$ : tel que : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .
Cela implique, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
D'où : $\text{[math]}$
C'est à dire : $\text{[math]}$ .
Par conséquent : $\text{[math]}$

EDIT : Croisement avec le message de Deedee81

**minushabens** · 12/02/2018, 16h12

il me semble que si le bord de U est vide Fp est vide et la proposition fausse.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 12/02/2018, 16h16

Si le bord est vide, a-t-on $\text{[math]}$ pour un $\text{[math]}$ ? C'est une question métaphysique il me semble.

**minushabens** · 12/02/2018, 17h08

Pour moi si la frontière est vide, l'ensemble des points situés à une distance x de ladite frontière est vide.

**God's Breath** · 12/02/2018, 21h27

Bonjour,

$\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , la proposition :

$\text{[math]}$

est vraie pour tout $\text{[math]}$ parce que l'antécédent est faux.

Donc $\text{[math]}$ minore $\text{[math]}$ .

L'ensemble des minorants de $\text{[math]}$ est donc $\text{[math]}$ .

La borne inférieure de $\text{[math]}$ est le plus grand des minorants : $\text{[math]}$

Il en résulte : $\text{[math]}$ et, pour un ouvert $\text{[math]}$ de frontière vide (il n'y en a quand-même pas beaucoup…), la définition de $\text{[math]}$ se résume à : $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ est encore la réunion des $\text{[math]}$ .

**minushabens** · 13/02/2018, 07h30

hé hé, et moi qui disais ailleurs qu'il fallait réviser la logique...

**Deedee81** · 13/02/2018, 07h35

Salut,

Envoyé par minushabens

hé hé, et moi qui disais ailleurs qu'il fallait réviser la logique...

Pourquoi dis-tu ça ?

(par ailleurs, la réponse donnée par God's Breath est exactement ce à quoi j'ai pensé quand j'ai vu ta remarque, mais il l'a formalisée infiniment mieux que ce que j'aurais pu faire. Chapeau bas).

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