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Définition Injectivité, non compréhension de la formule

  1. Loosgin

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    105

    Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Bonjour,

    J'ai compris le sens disons-le, littéral de l'injectivité : Le nombre d'antécédent des éléments de F atteint pas l'application f ( application de E->F ) est inférieur ou égal à 1.

    En revanche, en m'appuyant seulement sur la définition formelle de l'injectivité, je n'arrive pas à retrouver sa signification :

    Pour tout x,x' appartenant à E, f(x) = f(x') => x=x' .

    Je n'arrive pas à lier cette relation avec la définition littérale.
    En effet, cette définition dit que si l'image de x par l'application f est égale à l'image de x' par l'application f, cela implique que x = x'. Or plusieurs antécédents peuvent donner la même image.

    Si vous pouvez me lever cette incertitude, je vous remercie par avance.

    -----

     


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  2. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    447

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Bonsoir,

    Sauf erreur de ma part :

    De manière rigoureuse :


    équivaut à :

    qui équivaut à son tour à :

    qui équivaut à son tour à :

    qui équivaut à son tour à :


    Cordialement.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 10/02/2018 à 00h09.
     

  3. PlaneteF

    Date d'inscription
    janvier 2012
    Messages
    7 625

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par Loosgin Voir le message
    J'ai compris le sens disons-le, littéral de l'injectivité : Le nombre d'antécédent des éléments de F atteint pas l'application f ( application de E->F ) est inférieur ou égal à 1.

    En revanche, en m'appuyant seulement sur la définition formelle de l'injectivité, je n'arrive pas à retrouver sa signification :

    Pour tout x,x' appartenant à E, f(x) = f(x') => x=x' .
    Ben raisonne par l'absurde et tu retrouves la signification instantanément

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 10/02/2018 à 00h55.
     

  4. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    447

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Bonjour,

    Peux être que je n'étais pas claire au début. Voici la suite :

    Par exemple dans le sens direct :

    Supposons que tout a au plus un antécédent dans .
    - Si a un antécédent , alors :
    et puisque : , alors :
    On aboutit ainsi au résultat
    - Si n'est antécédent d'aucun élément de , alors :. Or, , ( car par hypothèse, tout élément a un antécédent ), donc :
    D'où le résultat.

    Maintenant pour le sens contraire :

    Supposons que :
    Supposons par absurde qu'il existe tel que : a plus qu'un antécédent, alors pour dans , alors : ( Absurde )
    Par conséquent : tout a au plus un antécédent dans .
    D'où le résultat.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 10/02/2018 à 02h24.
     

  5. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 586

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Citation Envoyé par Loosgin Voir le message
    Le nombre d'antécédent des éléments de F atteint pas l'application f ( application de E->F ) est inférieur ou égal à 1.

    […]

    Or plusieurs antécédents peuvent donner la même image.
    Bonjour,

    Plusieurs antécédents ne peuvent pas donner la même image puisque le nombre d'antécédents est inférieur ou égal à 1 !

    Si x et x' sont antécédents de la même image, i. e. si f(x)=f(x'), il ne peuvent être « plusieurs » antécédents de cette image, c'est en fait le même antécédent sous deux pseudonymes différents : x=x'.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     


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  6. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 872

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Citation Envoyé par Loosgin Voir le message
    Pour tout x,x' appartenant à E, f(x) = f(x') => x=x' .

    Je n'arrive pas à lier cette relation avec la définition littérale.
    la contraposée te paraîtra peut-être plus naturelle: si x est différent de x' alors f(x) est différent de f(x')
     

  7. Loosgin

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    105

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    Supposons que :
    Supposons par absurde qu'il existe tel que : a plus qu'un antécédent, alors pour dans , alors : ( Absurde )
    Par conséquent : tout a au plus un antécédent dans .
    D'où le résultat.
    Ton raisonnement par l'absurbe a répondu à ma question, merci Anonyme007 ! (quoique, je trouve toujours la plupart des raisonnements par l'absurde tirés par les cheveux )
    D'autre part, j'ai remarqué que chaque formule est précédée d'une phrase comme :
    -"Supposons que Y tout a au plus un antécédent dans ";
    -"Si Y n'est antécédent d'aucun élément de E".
    J'en déduis que la phrase qui précède la formule est implicitement écrite dans celle-là ?

    A Minushaben, je ne suis pas formé à la logique mathématique, j'ai encore du mal à cerner les différences entre un raisonnement par contraposée et par l'absurde...

    A God's Breath, je suis d'accord avec toi ! Sauf que, l'égalité n'est montré qu'après l'implication : rien ne m'interdit d'écrire f(x)=f(x') => x != x', non ?
    Dernière modification par Loosgin ; 11/02/2018 à 19h59.
     

  8. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 806

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Bonjour Loosgin.

    Raisonnement par contraposition : De A ==> B on infère (déduit) que non B ==> non A.
    Raisonnement par l'absurde (classique) Pour prouver A, on suppose non A et on en déduit une propriété fausse. Pour les logiciens, c'est plutôt on suppose non A et on en déduit A.

    Cordialement
    Dernière modification par gg0 ; 11/02/2018 à 20h06.
     

  9. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 872

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Citation Envoyé par Loosgin Voir le message
    A Minushaben, je ne suis pas formé à la logique mathématique, j'ai encore du mal à cerner les différences entre un raisonnement par contraposée et par l'absurde...
    c'est un peu le B - A - BA des mathématiques. Ca vaut le coup de prendre un peu de temps pour assimiler quelques notions élémentaires de logique.
     

  10. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 586

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Citation Envoyé par Loosgin Voir le message
    Sauf que, l'égalité n'est montré qu'après l'implication : rien ne m'interdit d'écrire f(x)=f(x') => x != x', non ?
    Je ne comprends pas ce que veut dire « l'égalité n'est montrée qu'après l'implication » : une implication ne peut pas vivre seule, sans un antécédent et un conséquent.
    L'expression est une proposition correctement formulée, alors que , , ne sont pas syntaxiquement correctes.

    La proposition mathématique est l'écriture formalisée de « si f(x) et f(x') sont égaux, alors x et x' sont égaux », qui signifie : «si x et x' sont deux antécédents d'une même image (non nommée explicitement), alors x et x' ne font qu'un », c'est-à-dire l'expression de l'injectivité, sans raisonnement par l'absurde ni par contraposition.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  11. Loosgin

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    105

    Re : Définition Injectivité, non compréhension de la formule

    Merci God's Breath ! Je n'avais pas bien saisi le principe de l'implication d'où mon non compréhension. Grâce à ton explication, j'arrive maintenant à lier cette formule avec la notion d'injectivité; Merci encore!

    Minushaben, je ne peux être que d'accord avec toi ! Je saisis très bien l'importance de ces outils de base qui permettent de démontrer des formules complexes ( comme vous dîtes, C'est la base du raisonnement mathématique). Cependant, pour pouvoir les manipuler correctement, cela demande énormément de pratique (et donc, du temps)... Enfin pour le commun des mortels, c-à-d quand on a un Qi =< 120.

    Merci gg0, l'explication ne peut pas être plus synthétique. Je mets cette page en favoris. J'y reviendrai dessus quand je me serai libéré du temps.
     


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