R est il vraiment un corps?

[sleinininono]

Bonsoir!

J'ai re-réalisé hier soir que la multiplication est en réalité une addition répétée (évidemment je l'avais déjà vu comme ça, mais à force de parler de structures algébriques j'avais fini par dissocier totalement les deux). Ma question est la suivante :

Est ce que parler de (R, +, .) a t-il réellement un sens si la deuxième lois correspond strictement à la première ? 1+1 = 2 . 1 et la deuxième écriture n'est qu'une simplification de la première, presque une convention? De la même façon, on pourrait dire que a . a = a^2 donc en réalité il existe aussi une loi exposant...

Je ne remets pas en cause le fait d'écrire explicitement que la deuxième lois est là (ce qui signifie notamment ici qu'elle est associative, possède un élément neutre, une loi symétrique et est commutative) mais alors que je ne remettrais pas en doute l'utilité d'une deuxième loi dans les matrices où l'on définit clairement une autre loi totalement différente de la première, ici les deux lois semblent mêlées et je trouve ça étrange de les appeler différemment et de leur donner 2 places (alors qu'en maths ce qui est pareil on l'appelle souvent de la même façon... où on dit qu'ils sont isomorphes, à permutations près ... etc.).

merci d'avance !
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[Tryss2]

Comment ça?

+ ne correspond pas strictement à *

a+b c'est complètement différent de a*b


Et même si on peut potentiellement définir * à l'aide de +, c'est très loin d'être direct pour R : comment tu écris à l'aide d'additions entre et ?

[gg0]

Sleinininono,

où as-tu vu dans la définition des corps que les opérations doivent être différentes ? Ou qu'elles ne doivent pas avoir de lien ?

Cordialement.

[sleinininono]

en ce qui concerne le produit de nombre à virgule on applique l’algorithme classique du primaire... on multiplie par une puissance de 10 et ce qui était derrière la virgule se retrouve devant...

c'est pas que les deux lois doivent être différentes, mais à ce moment autant parler que d'une seule et unique lois pour unifier la chose? pourquoi les exposants ne seraient pas eux aussi une loi à part entière ? où se situe la frontière?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bon,
il va falloir arrêter de raconter n'importe quoi !
Sous prétexte que l'on construit en primaire les multiplications de nombres entiers strictement supérieurs à 1 à partir de l'addition, tu en es à sous-entendre que multiplication et addition de réels c'est la même loi ("autant parler que d'une seule et unique lois (sic)"). Désolé d'avoir à te le dire, mais tu dérailles complétement. Pour avoir le dernier mot ???

"pourquoi les exposants ne seraient pas eux aussi une loi à part entière ?" Ben oui, l'opération est bien une opération à part entière !! Tu n'as donc jamais réfléchi à ce qu'est une opération ?

Allez, arrête de baratiner, et va voir dans un cours la notion de "Loi de composition interne" (*) qui est le nom des mathématiciens pour les "opérations".

(*) tu peux aussi regarder les "lois de composition externes", que tu as déjà rencontrées aussi.

[gg0]

En réponse à ton titre :
oui, L'ensemble des réels muni des lois + et est un corps.

[albanxiii]

Bonjour,

J'ai re-réalisé hier soir que la multiplication est en réalité une addition répétée

Dans Z ou dans N, on peut définir la multiplication à l'aide de l'addition : la somme étant répétée fois. Mais dans Q ou R ça ne fonctionne plus.

[ansset]

Il ne suffit pas de définir une multiplication......
un corps est un anneau dont tout élément non nul admet un inverse pour celle ci.
d'où le fait que N n'est pas un corps, alors qu'on peux y définir une multiplication.

[minushabens]

c'est pas que les deux lois doivent être différentes,

les deux lois d'un corps sont nécessairement différentes. Ca n'est pas dit explicitement dans les axiomes mais il est dit que 0 et 1 doivent être distincts et ça implique que les lois sont distinctes (exercice).