arithmetique et algebre

[ebolamath]

Bonjour,
besoin d'aide pour un exercice:

Considerons l’anneau quotient
K = F3[X]/(X^3 + X^2 + 2).
1) Montrer que K est un corps.
2) Quelle est sa caracteristique ? Quel est son cardinal ?
3) Quels sont les ordres possibles des elements du groupe K∗
?
Soit α la classe de X modulo (X^3 + X^2 + 2). On rappelle que B = (1, α, α2 ) est une
base du F3-espace vectoriel K.
4) Quelles sont les coordonnees de l’inverse de 1 + α dans B ?
5) Quelles sont les coordonnees de α^6
dans B ?
6) Quel est l’ordre de α dans K∗


1) Le polynome X^3 + X^2 + 2 n’a pas de racines dans F3. Il est de degre 3, donc il est
irreductible sur F3. Par suite, K est un corps
2) Sa caracteristique est 3 et son cardinal est 27
3) Les ordres possibles des elements du groupe K∗
sont les diviseurs de 26: 1, 2, 13 et 26
4)
a^3+a²+2=0
a^3+a²=-2=1
(1+a)*a²=1
l'inverse de 1+a = a² et ses coordonées (0, 0, 1)
5)
je ne sais pas

merci
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[Médiat]

Bonjour

5)
je ne sais pas

refaites la même chose avec jusqu'à ce que vous n'ayez plus de puissance supérieure à 2

[ebolamath]

j'ai compris qu'il fallait exprimer a^6 avec des puissance inferieur ou egale a 2 mais je ne vois pas comment faire. je ne vois pas l'interet d'avoir l'inverse de a². je ne vois pas d'ou sort votre equation

[ebolamath]

ha c'est bon.
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[ebolamath]

je trouve a^6= 2a²-2a
coordonees (0,-2,2)
est ce juste ?

[ebolamath]

(0,1,2) pardon je ne peu pas modifier