operateur differentiel

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
petite question d'ordre mathematico-physique. Il arrive qu'on rencontre ce genre d'expression, pour une variable exprimable en fonction de tel que



deja, est ce un abus ou y a t-il des justifications mathématique derrière ? Car j'ai l'impression que l'on peut lire cette formule tel que :



où il y a une multiplication entre la derivée et l'operateur derivée suivi d'une composition, à laquelle est liée l'operateur derivée... jusque là ca fait sens ou c'est du grand n'importe quoi ?

Puis vient le coeur de mon probleme :

(en suposant que le theoreme de Schwartz s'applique)

comment effectuer ce développement ? Et si tant est que je n'ai pas fait n'importe quoi, comment expliquer que les opérateurs différentiel passe "a travers" les dérivées (ou bien il derive mais cela vaut 1 et alors il me manque des termes d'ordre 1) ?

En espérant avoir quelque pistes de réflexions je vous remercie du temps que vous m'accorderez
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[JB2017]

Bonjour
D'où sort cette question?
Si tu prends cet exemple x=x(u,v)=u^2+v^2 , c'est quoi pour toi la dérivée de u par rapport à x?

[jacknicklaus]

Si tu prends cet exemple x=x(u,v)=u^2+v^2 , c'est quoi pour toi la dérivée de u par rapport à x?

voire même pire avec : x(u,v) = v²

[JB2017]

Bien vu @jacknicklaus !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[theophrastusbombastus]

Il semblerait que je sois déjà mal barré avec mon "hypothèse" . La premiere fois que j'ai vu cette sorte de développement c'etait en relativité generale, si on considere la transformation :


Elle laisse invariant l’équation d'onde . Pour la "démo" en se plaçant à une dimension on obtient :



On passe à la dérivée seconde :


on a donc
Sachant que On trouve :

Mais pourquoi ca marche ?

Pour revenir à mon exemple de début je voudrais considérer la transformation :


D'où ma petite difficulté puisque mes deux variables et peuvent s'exprimer avec une seule nouvelle variable ... Est ce que vous me suivez ? Donc j'aurais effectivement du mal à développer vos deux propositions

Merci de l’intérêt que vous portez à ce problème

[jacknicklaus]

Mais pourquoi ca marche ?

Ben, c'est application directe de la chain-rule. N'oublie pas que dans ces expressions, v est une constante, donc gamma et bêta aussi : on est dans le cas de transformation LINEAIRE.

si ca te pose problème de raisonner sur un opérateur, tu peux introduire une fonction fictive F(x',t')
les dérivées partielles de F selon x et t s'expriment alors selon la chain-rule en fonction des dérivées partielles de F selon x' et t', et des dérivées partielles de x' et t' selon x et t. Tu appliques les règles, et ensuite tu retires la fonction fictive F pour obtenir une relation entre opérateurs différentiels

mes deux variables u et v peuvent s'exprimer avec une seule nouvelle variable ... Est ce que vous me suivez ?

non, pas du tout...
comment diable exprimes tu u en fonction de x, et v en fonction de x dans ton exemple ?
je ne comprends rien à ta transformation.

[theophrastusbombastus]

Au contraire je préférerai raisonner en terme d’opérateur, mais j'imagine qu'il y a un cadre mathématique rigoureux derrière ?
Alors ok pour les relations linéaire... et lorsqu'elles ne le sont pas, ca se passe comment ?

A la base c'est un énoncé de thermodynamique, et on nous donne la relation suivante :



avec et . On demontre assez facilement que G est convexe pour et , jusque là c'etait un exercice, et je me suis posé comme question ce qu'il etait possible de faire en jouant avec les dérivées partielles... dont ma question sur le développement de la derivée seconde selon x et ses liens avec mes quantités et . Je ne sais pas si ca eclaire un peu le propos ? Car à vrai dire je n'ai pas de but précis en posant ces questions si ce n'est celui de savoir ce que je peux obtenir avec ces dérivées...

Mais encore une fois merci du temps que vous passez à me répondre

[jacknicklaus]

Car à vrai dire je n'ai pas de but précis en posant ces questions si ce n'est celui de savoir ce que je peux obtenir avec ces dérivées...

Tu as donc une surface par f(Na,Nb) = 0.

Tu peux considérer un changement de carte (Na,Nb) <-> (x,y) mais à lui seul x = Na/(Na+Nb) n'est pas un changement de carte valide. Et y = Nb/(Na+Nb) ne marche pas, le changement de carte ne serait pas inversible car x+y = 1.

Dit autrement, on ne peut donner aucun sens à la dérivée partielle de Na (ou Nb) par rapport à x, il ne fait donc aucun sens de considérer la dérivée partielle de f par rapport à x.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

J'ai l'impression que vous recherchez les dérivées d'une fonction réciproque. Dans ce cas, certaines conditions (données par le théorème des fonctions implicites) sont à respecter. Un début d'information sur le sujet ici: http://jf.burnol.free.fr/agreglagrange.pdf