commuter bord, intérieur avec une isométrie

[sleinininono]

Bonsoir,
j'essaye de démontrer que :

soit phi une isométrie. P inclu dans R^2

l'intérieur de phi (P) = phi(P intérieur )

bord de phi (P) = phi(P bord)


Néanmoins je n'ai aucune méthode... j'ai essayé de poser des montrer que mais c'est laborieux parce que je ne sais pas quelle écriture des ensembles privilégier.


svp ne me dites pas d'aller travailler j'ai la correction de l'exercice (dont je ne comprends pas la méthodologie, mais je comprends bien sur les étapes). J'écris sur forum pcq je n'ai pas d'idée pour poser le problème .


Enfin j'ai cette dernière question personnelle, montrer que toute isométrie est continue.
J'imagine très bien pourquoi mais je ne vois pas comment faire à partir de la définition de continuité. Un indice?
Merci !
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[Amanuensis]

bord? C'est à dire frontière, au sens de https://fr.wikipedia.org/wiki/Fronti...re_(topologie) ?

[sleinininono]

ah on dit frontière en français ? en anglais on dit boundary donc... mais oui c'est ça. J'aime bien utiliser la définition où le bord correspond à l'ensemble des points dont l’intersection avec l'intérieur et l'extérieur est non vide.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Alors, il s'agit de montrer d'abord que :
Puisque est une isométrie, alors est munie d'une métrique de chaque coté ( ensemble de départ et ensemble d'arrivée ).
Par double inclusion, on a : :




avec : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Si j'aurai un peu de temps libre, je viendrai voir si je peux t'aider pour les autres. Je suis un peu fatigué aujourd'hui.

[sleinininono]

bonjour! oui ça serait génial si vous pouviez me montrer pour les autres aussi

néanmoins je n'ai pas compris la troisième implication où l'on fait apparaitre a'... je cherche vraiment une méthode avec des étapes. Là c'est encore flou. Et je n'ai pas encore fait les espaces de mesures, donc j'imagine plus ou moins ce que vous voulez dire mais on peut supposer qu'on est sur une "métrique classique?"...

[slivoc]

Bonjour,

En montrant d' abord que toute isométrie ( affine, vectorielle ? )de R^2 dans lui même est un homéomorphisme ( l' isométrie est bijective, continue, d' inverse continue) c' est beaucoup plus simple, car les homéomorphismes envoient les ouverts sur les ouverts et les fermés sur les fermés.

[sleinininono]

honnêtement je ne vois pas comment ça pourrait être vrai déjà qu'une isométrie est un morphisme... Et ensuite ça fait beaucoup de lemme pour démontrer des résultats qui je crois sont simples mais qui me sont encore inaccessibles par manque de méthodes?

[gg0]

Bonjour Sleinonino.

Je suppose que tu parlais d'une isométrie de R^2 muni de la distance euclidienne habituelle (une isométrie du plan donc une translation, rotation, symétrie axiale, ...). Je n'ai pas compris pourquoi tu rejettes à priori l'explication de Slivoc qui t'a donné tous les éléments pour une démonstration. Une isométrie du plan est bien un homéomorphisme, une bijection bicontinue. Et tu peux le prouver.
A moins que ce soit une isométrie vectorielle, ce qui réduit encore les possibilités (ça correspond aux isométries du plan qui ont (0,0) comme point fixe.

Bon travail !

[Anonyme007]

Bonjour,

L'image réciproque d'une boule ouverte de l'espace d'arrivée par est une boule ouverte de l'espace de départ, avec : , et puisque est une isométrie, alors : , et donc, . ( Peut être que la propriété d'isométrie sera utilisée dans la suite de l'exercice, elle n'intervient pas jusqu'ici ... on verra ... Je n'ai trouvé utile la notion d'isométrie que pour mettre : , mais, on s'en tape, c'est inutile finalement ).

[gg0]

Heu ... si ce n'est pas une isométrie, l'image (ou l'image réciproque) d'une boule n'a aucune raison d'être une boule !!

Cordialement.

[Anonyme007]

Ben, est une isométrie donc, continue.

[sleinininono]

j'ai pas tant rejeté que surtout je ne comprends pas pourquoi une isométrie serait un morphisme....


d'accord, la justification me semble clair, merci. Et comment faire pour la continuité ? j'ai trouvé comment faire vis à vis de la frontière sachant les intérieurs égaux.

[Anonyme007]

Non, tu oublies la continuité, on a par hypothèse que est une isométrie ... , à fortiori continue.
Pourquoi tu voudrais montrer que est un morphisme ? C'est inutile.

[gg0]

Homéomorphisme ne veut pas dire linéaire, mais morphisme d'espaces topologiques.

[sleinininono]

Alors morphisme d'espaces topologiques je n'ai aucune idée de ce que cela signifie... je saurais ça dans 3 mois

Je n'ai aucune idée de comment montrer avec les epsilons que si phi est une isométrie alors phi est continue... Je n'ai pas encore la logique pour appliquer des fonctions à des boules... je ne vois pas comment faire

[Anonyme007]

Tu as la bougeotte dans ton cerveau. Tu n'as pas un esprit organisé.
Commence par lire attentivement le cours, et fais d'abord de simples exercices, ensuite tu passes progressivement à un niveau plus supérieure. Je ne connais pas ton niveau, mais c'est juste un conseil.

[Anonyme007]

Ne comprends pas mal, ce n'est pas pour diminuer de ta valeur, mais si tu ne suis pas cette étape, tu rencontras des difficultés à mettre un peu d'ordre dans ton esprit. Mais tu es libre finalement, chacun sa propre méthode de travail qui dépend de ses expériences.

[gg0]

On appelle "morphisme" une application qui est compatible avec les structures utilisées : morphisme de groupes, d'anneaux, de corps, d'algèbre, d'espace vectoriel, .. en algèbre, morphismes d'espaces topologiques (homéomorphismes), morphismes d'ensembles ordonnés (applications croissantes), morphismes d'ensembles mesurés (fonctions mesurables), etc.

Donc ne pas confondre "morphisme" avec application linéaire, surtout quand il ne s'agit pas d'applications entre espaces vectoriels.
peut-être aussi ne pas te lancer dans des questions difficiles sans avoir étudié "l'état de l'art", ce que l'on sait sur la question.

Pour la continuité, on peut t'aider si tu nous dit quelle définition de la continuité tu utilises pour une application de R² dans R² (ou une définition plus générale, si tu veux). Et quelle distance sur R² est utilisée. A ce propos, sais-tu démontrer que si f :R²-->R² est une isométrie, l'image d'une boule est une boule ?

Cordialement.

[AncMath]

Oh la la.
Montrer qu'une isométrie est continue est trivial. C'est une isométrie. Elle est 1-lipshitizienne, donc continue. Un morphisme d'espace topologique est une application continue, un homéomorphisme est un isomorphisme d'espaces topologique, une application continue de réciproque continue.
Une isométrie de R^2 est effectivement un homéomorphisme. C'est très simple à prouver, en fait, la classification des isométries du plan affine est très simple.

Si tu ne connais que la definition d'une isométrie, alors ce qu'il te faut montrer qu'une isométrie du plan est bijective, ce qui résulte facilement de la locale compacité du plan.

[gg0]

Merci Ancmath, d'avoir rectifié ma bêtise sur les morphismes d'espaces topologiques. J'ai pensé continues, j'ai écrit homéomorphismes en pensant aux premiers messages.
Par contre ce que tu appelles "trivial" et "très simple" est généralemetn difficile pour celui qui débute, voire n'a jamais lu un cours sur le sujet

Cordialement.

[AncMath]

Effectivement ce qu'on juge simple varie au cours de la vie.

Du coup je donne des pistes plus détaillés pour prouver tout ça, sous forme de petits exercices simples.

1/ Prouver qu'une isométrie d'un espace métrique compact dans lui même est bijective.

2/ En déduire qu'une isométrie d'un espace affine sur les réels est bijective (cela suffit pour prouver le resultat) et un homéomorphisme.

3/ Prouver qu'une isométrie d'un espace affine ayant un point fixé est linéaire pour la structure linéaire qui correspond au choix de ce point comme origine.

4/ Montrer qu'une isométrie linéaire de stabilise un plan.

5/ Classifier les isométries d'un espace affine réel.

[AncMath]

D'ailleurs on peut procéder légèrement différemment en bypassant la question 1 et 2, ou plutot en déduisant la question 2, de la question 3.

[sleinininono]

Merci pour toutes vos réponses...

Alors je suis désolé mais vous employez pas mal d'expressions que je ne maîtrise absolument pas...

Ensuite pour répondre au dernier message, vous semblez énoncer des étapes triviales d'une recette de cuisine alors que au sein de mon école, on met 2 semestres pour classifier tout ce que vous dites... et on en a tous baver donc je ne pense pas que ce soit aussi simple que cela... Pour une raison simple, faire ce que vous dites implique connaître un minimum la théorie des groupes et quand on n'a jamais vu cela, ce n'est pas aussi simple. Enfin bref.

Donc si je peux vous demander encore votre aide, ça serait à propos de ceci (je recentre le sujet qui part un petit peu dans diverses directions, et je préfère revenir sur des sujets qui me concerne et sont urgents, et à la limite je reviendrai pour reparler d'espaces topologiques ;p ).


Merci gg0 pour m'avoir fait voir les morphismes comme autre chose que je ne le croyais... je n'avais jamais vu la croissance comme un morphisme et je trouve ça génial...

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Donc pour les démonstrations, je retiens ceci :

1) si f :R²-->R² est une isométrie, l'image d'une boule est une boule.
2) f :R²-->R² est une isométrie, alors f continue.

pour la une, c'est en fait cela qui me pose problème.
Je ne sais pas du tout comment procéder... cad que je connaissais les méthodes pour montrer que un ensemble est inclus dans un autre, ou d'autres méthodes classiques du même acabit ; mais là on est sensé appliqué f à une boule entière et je ne comprends pas comment cela fonctionne. Je vois pas mal de texte où il applique immédiatement certaines règles que je n'ai pas encore assimilées.


pour la deuxième, j'en ai discuté ce matin avec mon professeur et il m'a proposé de le voir avec des suites (de R²) : On veut savoir si :
x_n -> x => f(x_n) -> x.
Et il m'a dit que f(x_n) - f(x) = x_n - x -> 0.


Néanmoins, j'avais en tête qu'une isométrie préservait les distances, i.e. : f(a-b) = a-b. Mais par contre f(a) - f(b) != a-b... Je ne comprends pas très bien cette étape.


C'est le même problème que j'ai en travaillant avec des epsilons, puisque j'ai alors (je prends la définition de continuité comme celle assimilable à R, autrement dit : )
pour tout epsilon, il existe une boule de x pour que f(x) soit dans la boule d’epsilon.
Sauf que : | x-x_0| < delta => | f(x) - f(x_0) | < epsilon
et ça ne me parait pas évident... à cause du même problème.
Peut être j'ai la mauvaise définition d'isométrie ?


merci !

[AncMath]

Je donnes les preuves des des deux premieres assertions (qui suffisent à prouver la question du premier post) en spoiler, au cas où j'aurais pas l'occasion de me reconnecter aujourd'hui.
Question 1:

 Cliquez pour afficher

Soit un espace métrique compact, et une isométrie, comme est compact et donc fermé car est séparé, il suffit de prouver que est d'image dense. Soit un point quelconque alors admet une sous suite convergente et donc converge, et donc est de cauchy, donc pour un petit fixé on peut trouver n tel que soit et est adhérent à

Question 2:

 Cliquez pour afficher

Les sphères d'un espace affine sont compactes, comme une isométrie d'un espace affine envoie sphère dans sphère il en résulte qu'une isométrie est bijective d'apres la question précédente. Sa réciproque est aussi une isométrie, donc continue.

[AncMath]

Nos messages se sont croisés.

Pour répondre à ton objection, je t'assure qu'il n'y a rien de plus que ça dans la classification des isométries. Mais si tu ne veux pas en parler, n'en parlons pas (effectivement si tu ne sais pas ce qu'est un groupe à la base, alors y a un peu plus de travail en effet, mais ca n'est pas directement sur le sujet, bref).

Remettons les choses dans l'ordre.

Une isométrie (dans les contexte qui nous occupe) c'est une application d'un espace métrique dans un espace métrique qui conserve les distances, autrement dit pour tout couple de tu as .

Montrer qu'une telle application est continue est tres simple, meme avec les "epsilon". Prend dans et fixe toi un , posons alors si tu as . Donc est continue.

[AncMath]

Ensuite pour prouver que l'image d'un boule est une boule, est ce que c'est clair déja pour toi que l'image d'un boule de centre a et de rayon r est contenue dans la boule de centre f(a) et de même rayon r ?

Si oui, tu n'as qu'a prouver que restreinte à cette boule, l'isométrie est surjective dans la boule et cela résulte du petit résultat que j'ai mentionné et prouvé plus haut.

Une isométrie d'un espace métrique compact dans lui même est bijective. (Compose avec la translation qui ramène f(a) en a)

[sleinininono]

ah oui donc j’appliquais mal la définition d'isométrie... très bien je vous remercie pour vos messages. Je relirais tout ça tout à l'heure mais de première lecture ça me paraissait clair merci !

[gg0]

Sleinininono :

j'avais en tête qu'une isométrie préservait les distances, i.e. : f(a-b) = a-b.

ben non, tu parles ici d'une application vectorielle constante. Si a et b sont des points du plan R², a-b est un vecteur, plus un point.
Dire que f conserve les distances, c'est dire que f(a) et f(b) sont à la même distance que le sont a et b. Et ce n'est pas non plus f(a) - f(b) = a-b, mais d(f(a),f(b))=d(a,b) (prends l'exemple d'une rotation, fais un dessin). Si la distance est la distance euclidienne, donc d(a,b)=||b-a||, alors on a bien ||f(b)-f(a)||=||b-a| qui tend bien vers 0.

Cordfialement.

[AncMath]

pour la deuxième, j'en ai discuté ce matin avec mon professeur et il m'a proposé de le voir avec des suites (de R²) : On veut savoir si :
x_n -> x => f(x_n) -> x.
Et il m'a dit que f(x_n) - f(x) = x_n - x -> 0.


Néanmoins, j'avais en tête qu'une isométrie préservait les distances, i.e. : f(a-b) = a-b. Mais par contre f(a) - f(b) != a-b... Je ne comprends pas très bien cette étape.

Tu oublies des normes ici! C'est faux que c'est