ensemble qui s'appartient à lui-meme.

[shaams]

Bonjour, est il normal de dire qu'un ensemble peut-s'appartenir à lui-meme, parce que je trouve que cela n'a pas de sens, une collection de billes n'est pas une bille autant qu'une collection de timbres n'est pas un timbre. Je pose cette question qui me trouble beaucoup parce que Russell l'utilise pour montrer qu'on ne peut pas parler d'ensemble de tous les ensembles, la démonstration en-elle meme n'est pas très difficile si on peut concevoir des ensembles qui puissent s'appartenir ou non. Merci
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[minushabens]

Je dirais que si tu en restes à la conception intuitive des ensembles comme collections d'objets (de timbres si tu veux), alors effectivement un ensemble élément de lui-même est un peu problématique. Mais si tu adoptes le point de vue abstrait (formel) où les ensembles sont des objets sans signification, mais qu'on manipule à l'aide des opérateurs comme "union", "intersection", "appartient à", lesquels vérifient un certain nombre de propriétés, alors ça ne pose aucun problème a priori. Il faut chercher si cela entraîne une contradiction, c'est ce qu'a fait Russel avec son ensemble des ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes.

[shaams]

En gros tu veux dire que si par exemple un ensemble est défini par une propriété alors on peut dire qu'un élément si vérifie , donc notre cas on vérifie si l'ensemble vérifie si oui alors , c'est ça que tu veux dire ?

[minushabens]

non, ce que je voulais dire c'est que si la relation "E élément de E" n'est pas explicitement interdite par les axiomes alors il n'y a pas de raison de la contester. D'un point devue formel il n'y a pas à lui chercher une "signification" particulière qui serait contraire à l'intuition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

L`idee qu`il faut abandonner, c`est que les elements d`un ensemble se definissent par une propriete simple (autre que justement dire qu`ils appartiennent a cet ensemble)

[shaams]

D'accord, mais c'est très bizarre

[shaams]

Bonjour,

L`idee qu`il faut abandonner, c`est que les elements d`un ensemble se definissent par une propriete simple (autre que justement dire qu`ils appartiennent a cet ensemble)

J'ai pas saisi ton explication

[Médiat]

Desole pour les accents : clavier QWERTY

Vous dites qu`un ensemble de billes n`est pas une bille, et vous avez raison, cela n`empeche pas que l`ensemble constitue des billes et de l`ensemble des billes d`exister (axiome de l`union) (et on peut iterer le processus un nombre denombrable de fois)

En tout etat de cause on ne peut definir qu`un nombre denombrable d`ensembles alors qu`il peut y avoir "considerablement" plus d`ensembles

[minushabens]

D'accord, mais c'est très bizarre

oui mais c'est pas mal que des choses soient bizarres. Le propos des maths c'est de découvrir des choses nouvelles. Si les axiomatiques ne faisaient que formaliser l'intuition qu'on a des choses et étaient fermées à la nouveauté, les maths n'avanceraient pas ou en tout cas moins vite et moins loin.

[Merlin95]

A noter que ce n'est pas totalement contre-intuitif, un ensemble de concepts est une concept donc l'ensemble des concepts appartient à lui-même.

[Médiat]

Oui, mais d`un autre cote l`union de 2 concepts n`est pas vraiment un concept

[Merlin95]

Si je ne me trompe pas vous voulez dire qu'il n'y a pas vraiment de sens (en tout cas "classique") à parler de l'union de deux concepts ?, ce qui me semble juste.

[Médiat]

Oui tout a fait, aussi pour dire que l`intuition en mathematique et particulierement en theorie des ensembles est un piege don't il faut sortir le plus vite possible

[shaams]

Une dernière question, existe-il d'autre théories autre que celle des ensembles qui fondent les mathématiques.

[Merlin95]

C'était juste une petite analogie, mais comparaison n'est pas raison car elle n'est certainement pas la bonne façon d'appréhender la question dans le cadre de la théorie des ensembles.

[minushabens]

Une dernière question, existe-il d'autre théories autre que celle des ensembles qui fondent les mathématiques.

On peut définir axiomatiquement la théorie des catégories sans l'appuyer sur la théorie des ensembles. Il me semble que c'est ce que fait Mac Lane. Mais je ne sais pas si la théorie des catégories permet de fonder toutes les mathématiques. On n'en parle pas en théorie des probabilités par exemple. Je pense qu'à un moment ou à un autre il faut faire intervenir des ensembles sinon on reste dans des choses très abstraites (mais je connais mal la théorie des catégories).

[Médiat]

Je confirme ce que dit minushabens, categories et theorie des ensembles permettent de fonder les mathematiques (on peut definir l`une dans l`autre) malheureusement les discussions sur ce theme tournent rapidement a des disputes quasiment religieuse

[Médiat]

Voir, par exemple: https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post5650762