Implication logique

**mehdi_128** · 23/07/2018, 14h08

Bonjour,

depuis plusieurs jours je bloque sur ça et j'ai pas réussi à comprendre malgré mes nombreuses lectures, j'y arrive pas...

Je ne comprends pas la différence entre ces 2 phrases :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**minushabens** · 23/07/2018, 14h14

La première phrase dit que si les fonctions f et g donnent la même image à tous les points de E, alors elles sont égales. La deuxième dit que quel que soit le point x de E, si f et g en donnent la même image alors c'est que f et g sont égales. Cette phrase est manifestement fausse (sauf si E n'a qu'un élément).

**mehdi_128** · 23/07/2018, 14h35

Du coup dans la deuxième phrase, le x est fixé avant de "passer" dans l'implication ?

**minushabens** · 23/07/2018, 14h36

Dans la deuxième proposition, il y a une implication (différente) pour chaque valeur de x.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 23/07/2018, 14h37

Que signifie une parenthèse ? Qu'il faut prendre comme un tout ce qu'il y a dedans.

**minushabens** · 23/07/2018, 14h39

Remarque que pour que ces propositions soient complètes, il manque les quantificateurs sur f et g. Il faut comprendre qu'elles sont précédées de "pour toutes fonctions f et g définies sur E" ou quelque-chose comme ça.

**mehdi_128** · 23/07/2018, 14h49

Envoyé par minushabens

Dans la deuxième proposition, il y a une implication (différente) pour chaque valeur de x.

D'accord j'ai compris

Je suis dans un autre cas :

Du coup, là j'ai :

$\text{[math]}$

Je me demande où mettre les parenthèses ?

**gg0** · 23/07/2018, 14h59

Ici, comme l'appartenance à l'ensemble vide est toujours fausse, tu peux parenthéser avant le "pour tout x" (et à la fin), ou ne pas parenthéser.

Cordialement.

**Médiat** · 23/07/2018, 15h08

Bonjour,

En fait cette écriture n'est pas parfaite (usage de formes abrégées), ce qui empêche de mettre les parenthèses correctement (la proposition de gg0 est "la moins mauvaise", et cela n'a aucun rapport direct avec l'ensemble vide)

La forme qui suit les règles de construction des formules serait : $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 23/07/2018, 15h14

Envoyé par gg0

Ici, comme l'appartenance à l'ensemble vide est toujours fausse, tu peux parenthéser avant le "pour tout x" (et à la fin), ou ne pas parenthéser.

Cordialement.

Et ça ?

$\text{[math]}$

**mehdi_128** · 23/07/2018, 15h18

Envoyé par Médiat

Bonjour,

En fait cette écriture n'est pas parfaite (usage de formes abrégées), ce qui empêche de mettre les parenthèses correctement (la proposition de gg0 est "la moins mauvaise", et cela n'a aucun rapport direct avec l'ensemble vide)

La forme qui suit les règles de construction des formules serait : $\text{[math]}$

Comment vous obtenez ça ?

**gg0** · 23/07/2018, 15h18

Pas mieux. C'est la même chose que non parenthésé, mais ça devient incorrect, car le "pour tout M" ne sert à rien et la partie après "implique" comporte deux lettres non définies.

**mehdi_128** · 23/07/2018, 15h30

Je vois mais ça signifie quoi exactement la parenthèse ?

C'est pas expliqué dans mon livre.

**minushabens** · 23/07/2018, 15h38

Les parenthèses limitent la portée des quantificateurs.

**Médiat** · 23/07/2018, 15h44

Envoyé par mehdi_128

Comment vous obtenez ça ?

En appliquant les règles de construction des formules.

**mehdi_128** · 23/07/2018, 15h46

Envoyé par Médiat

En appliquant les règles de construction des formules.

J'ai pas ça dans mon livre Analyse MPSI peut être que c'est pas au programme.

**mehdi_128** · 23/07/2018, 15h48

Envoyé par minushabens

Les parenthèses limitent la portée des quantificateurs.

Vous auriez pas un exemple simple ?

**gg0** · 23/07/2018, 15h58

Par principe, une partie entre parenthèse est une seule chose, et on ne s'occupe pas de ce qu'il y a dedans avec les écritures qui sont autour :
2+(2-1)=2+1 (ce serait le même résultat s'il y avait eu 5-4 dans la parenthèse)
2-(3-2) = 2-1
2*(5-4)=2*1
2*(x+1) peut être transformé en un autre calcul, mais on ajoute le 1 à x avant de multiplier la parenthèse par 2
3/(x+1) ne peut être transformé (utilement)

Tout ça est du classique, non ?

**gg0** · 23/07/2018, 16h03

Par exemple dans
$(\forall M \in \R, \forall x , x \in \emptyset ) \Longrightarrow x \leq M$
la propriété du départ (qui est entre parenthèse) dit que pour tout réel M et tout objet x, x est dans l'ensemble vide. Ce qui est peu crédible. Et après le implique, il y a deux lettres qui n'ont aucune raison d'avoir un rapport avec les x et M précédents, puisqu'ils étaient cachés dans la parenthèse !! Donc on ne sait pas de quoi il s'agit.

**Médiat** · 23/07/2018, 16h03

C'est tordu, mais la première formule est vérifiée par $\text{[math]}$ , pas la deuxième :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

PS : Il y en a marre du bug de copier-coller sur ce site !

**gg0** · 23/07/2018, 16h10

Heu ... Médiat,

je ne comprends pas. je ne comprends pas le parenthésage de la première formule (sur quoi porte le quel que soit x ?) et je ne vois pas pourquoi la deuxième serait fausse pour x entier naturel.

Cordialement.

**mehdi_128** · 23/07/2018, 16h12

Envoyé par gg0

Par exemple dans
$(\forall M \in \R, \forall x , x \in \emptyset ) \Longrightarrow x \leq M$
la propriété du départ (qui est entre parenthèse) dit que pour tout réel M et tout objet x, x est dans l'ensemble vide. Ce qui est peu crédible. Et après le implique, il y a deux lettres qui n'ont aucune raison d'avoir un rapport avec les x et M précédents, puisqu'ils étaient cachés dans la parenthèse !! Donc on ne sait pas de quoi il s'agit.

Je comprends mieux

C'est seulement si x est dans l'ensemble vide qu'on teste l'implication.

**mehdi_128** · 23/07/2018, 16h15

Pas compris l'exemple de Mediat

**Médiat** · 23/07/2018, 16h16

Envoyé par gg0

je ne vois pas pourquoi la deuxième serait fausse pour x entier naturel.

C'est parce que je me suis trompé, je voulais écrire :

C'est tordu, mais la première formule est vérifiée par $\text{[math]}$ , pas la deuxième :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Quant au parenthésage de la première formule, il signifie que le quantificateur porte sur la parenthèse qui le suit (règle absolue et générale), le x qui est en dehors de cette parenthèse est donc une autre variable, j'aurais pu écrire :

$\text{[math]}$ Cette formule étant équivalente à la première

**gg0** · 23/07/2018, 16h22

Heu ... tu as réécrit la même chose.

**Médiat** · 23/07/2018, 16h26

Pas tout à fait (> au lieu de <)

**gg0** · 23/07/2018, 16h27

Ah OK !

J'ai lu trop vite (mais ce changement est difficile à voir).

Cordialement.

**Médiat** · 23/07/2018, 16h29

Envoyé par gg0

(mais ce changement est difficile à voir).

Il m'avait échappé à la relecture de mon premier message

**mehdi_128** · 23/07/2018, 21h33

Envoyé par Médiat

C'est parce que je me suis trompé, je voulais écrire :

C'est tordu, mais la première formule est vérifiée par $\text{[math]}$ , pas la deuxième :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Quant au parenthésage de la première formule, il signifie que le quantificateur porte sur la parenthèse qui le suit (règle absolue et générale), le x qui est en dehors de cette parenthèse est donc une autre variable, j'aurais pu écrire :

$\text{[math]}$ Cette formule étant équivalente à la première

J'ai toujours rien compris

**Médiat** · 23/07/2018, 21h58

Je ne fais qu'appliquer les règles de construction des formules : le ou les quantificateurs s'applique(nt) à la formule dans la parenthèse suivante

Implication logique