topologie, nouvelle question sur les ouverts

[killwin]

Bonjour,

Je ne comprends pas la réponse à la question 4 de l'exercice 1.
http://www.bibmath.net/ressources/in...oevn&type=fexo

Il faut déterminer si D est ouvert ou fermé ou aucun des deux. (Q : ensemble des rationnels)
D={(x,y)∈R²∣x∈Q et y∈Q}

D n'est pas fermé : si (Rn) est une suite de rationnels convergeant vers √2, alors la suite (Rn,0) est une suite d'éléments de D qui converge vers (√2,0) qui n'est pas élément de D.

Pour l'instant je suis ok.

D n'est pas ouvert. Dans toute boule de centre (0,0), qui est élément de D, il existe des éléments qui ne sont pas dans D, par exemple les éléments du type (0,√2 / n)

Là je ne comprends pas. Par exemple pour n = 1, pour moi (0, √2) ne peut pas être dans la boule tout simplement parce que y est irrationnel.
L'espace métrique est (D, d) et une boule de centre (0, 0) se définit par m∈Q² tel que d(m, (0, 0) < r) . m ne peut pas être (0, √2).

Merci d'avance pour vos réponses
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[Tryss2]

Heu, non, l'espace metrique n'est pas D mais R²...

Si l'espace métrique considéré était D, alors il serrait trivialement ouvert et fermé

[Resartus]

Bonjour,
Telle qu'écrite, la démonstrations est en effet fausse, ou en tout cas trop concise : il aurait fallu préciser qu'on passe par le complémentaire.

La suite (0,racine(2)/n) appartient au complémentaire de D dans R² mais sa limite (0,0) appartient à D. Donc ce complémentaire n'est pas ouvert….