existence d'une intégrale

[Keisersoze]

Juste pour être sûr, comment représenteriez-vous le graphe de la primitive qui s'annule en 0 de la restriction de la fonction partie entière à [0,2] ?
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[Merlin95]

ne pas confondre fonction continue et fonction dont la dérivée n'existe pas.

[Keisersoze]

En réponse à un message de Merlin95:

Oui en effet.

Ceci dit, cela fait aussi référence au message #3 de K.S.

Citation Envoyé par Keisersoze Voir le message
f entre a et b c'est la borne supérieur de l'ensemble des intégrales entre a et b des fonctions en escalier inférieurs à f sur [a,b]: Comme f est bornée cela assure que cet ensemble est majorée
où il confond majoration d'une fonction, avec majoration d'un ensemble de fonctions.

je ne comprends pas la remarque, dans mon post #3 je ne parle pas d'un ensemble de fonctions mais d'un ensemble d'intégrale de fonctions en escalier qui sont des réelles, non?

[gg0]

Le graphe sur [0;2] ? la fonction que tu proposes n'est pas une dérivée, donc il n'y a pas de primitive sur [0;2].

Ne pas confondre avec la fonction

qui a un graphe sur [0;2] composé de deux segments jointifs, et qui est continue.

Je crois qu'il est temps pour toi de prendre un bon bouquin de niveau universitaire qui traite l'intégration correctement. Et de le lire soigneusement. Voire d'achetr "L'intégrale" de P. Deheuvels qui traite des différentes notions de façon systématique.

Cordialement.

[Keisersoze]

Oui en effet, partie entière n'admet pas de primitive étant donné que la "primitive" dont je parle n'est pas dérivable

[Keisersoze]

Je suis allé un peu vite, mais je pense que j'ai compris grâce à l'explication de gg0, conclusion la fonction qui à x associe l'intégrale d'un point a à x d'une fonction continue par morceaux est tout le temps continue mais pas dérivable dans le cas général (voir la fonction de gg0 #post 34)

[ansset]

Oui en effet, partie entière n'admet pas de primitive étant donné que la "primitive" dont je parle n'est pas dérivable

ben si "partie entière" admet bien une primitive.même si la dérivée de celle ci n'est pas continue.
cela fait maintenant plusieurs posts que cela est expliqué.

[Keisersoze]

Oui de nouveau, j'ai fait une erreur, mais du coup partie entière a une primitive (message #37) mais pas sa restriction à [0,2] (message #34) ?

[gg0]

Non Ansset, tu te trompes. Il n'existe pas de fonction primitive de "partie entière" sur un intervalle contenant un entier en son intérieur. De la définition de "primitive", on déduit qu'une fonction qui n'est pas dérivable n'est pas une primitive.
Par contre, elle admet une "intégrale indéfinie" , parfaitement définie à une constante près, comme d'habitude.

Cordialement.

NB : Que c'est difficile de ne pas dire "la primitive" alors que dès qu'il y en a une, il y en a une infinité.

[ansset]

Par contre, elle admet une "intégrale indéfinie" , parfaitement définie à une constante près, comme d'habitude.

me suis mal exprimé, comme parfois.

[Keisersoze]

Je suis d'accord avec le fait que la fonction suivante n'est pas une primitive de partie entière (sur un intervalle contenant un entier en son intérieur)

étant donné que cette fonction n'est pas dérivable.

Pour autant, pourquoi peut on affirmer que partie entière n'admet pas de primitive?

NB: je ne sais pas pour qui est adressé le message concernant l'emploi "la primitive", j'ai toujours, me semble-t-il, précisé que c'était une primitive qui s'annule en un certain point, d'où l'emploi de "la primitivie"

[ansset]

Pour autant, pourquoi peut on affirmer que partie entière n'admet pas de primitive?

c'est une question de définition tout simplement.
car par contre, on peut tout à fait calculer des intégrales de fonction continues par morceaux ( si elles sont bornées ).

Rappel : le titre et sujet de ton fil portait sur les intégrales ( et la quasi totalité des posts aussi ) , le mot primitive est intervenu à la fin et je l'ai repris par erreur.

[gg0]

f est une primitive de g sur l'intervalle I si f est dérivable sur I et f'=g.

[Keisersoze]

oui mais peut-être que la primitive de partie entière ne s'écrit pas sous la forme d'une intégrale? Pour les fonctions continues on relie la fonction qui à x associe l'intégrale de a à x de f à une primitive de f, cette fonction étant la primitive de f qui s'annule en a. Dans le cas de partie entière on a affaire à une fonction non continue, mais continue par morceaux, qu'est ce qui interdit d'envisager de trouver une primitive de partie entière???

[gg0]

Keizersoze

Mode blagueur ON
"je ne sais pas pour qui est adressé le message concernant l'emploi "la primitive", (message #41)
"oui mais peut-être que la primitive de partie entière ne s'écrit pas ..."
Tout le monde s'y fait piéger
Mode blagueur OFF

Plus sérieusement, je te rappelle que là où elle est dérivable, la fonction

a comme dérivée E(x). Donc si tu avais une primitive de E, donc une fonction continue g dont la dérivée est E, elle serait, sur ]0;1[ égale à f à une constante près : g(x)=f(x)+C1; sur ]1,2[, idem : g(x)=f(x)+C2. Par continuité en 1 des deux fonctions, g(1)=f(1)+C1=f(1)+C2 donc C1=C2 : g(x) = f(x)+C1 sur ]0;2[. Problème !! g(x) est dérivable en 1, pas f(x)+C1 !!!

En fait, il existe un théorème global : Toute fonction dérivée possède la propriété des valeurs intermédiaires. Comme la fonction partie entière prend les valeurs 0 et 1, mais pas les valeurs intermédiaires, ce n'est pas une dérivée.

En fait, les intégrales comme celle-ci (intégrales à une borne variable de la fonction) sont ce qui généralise immédiatement la notion de primitive : là où l'intégrande est continu, la dérivée de l'intégrale est la fonction.

Cordialement.

[Keisersoze]

Ah oui, d'accord, je comprends.
Pour ce qui est de la primitive, tout ce que je peux dire, c'est que je me suis bien fait avoir...