développement en série de ln(n+1)

[christophe_de_Berlin]

Bonjour, j´ai trouvé dans mon bouquin un développement en série de ln(n+1) que je ne comprend pas:

Ils écrivent :

ln(n+1) = ln(n) + ln(1+1/n)
= ln(n) + ln((1 + (2n+1)^-1)/(1-(2n+1)^-1)

bon je réécris ça plus clairement:

ln(n+1) = ln(n) + ln((1+u)/(1-u)) avec u = 1/(2n+1)

Bon jusque là d´accord. Mais ensuite ils font apparaitre la série:

2( somme(1/n * (2n+1)^-n)

Il est écrit que cette série a l´avantage de converger plus rapidement que 1/n - 1/2n^2 + 1/3n^3....

Comment peut-on en arriver à ce résultat?


merci d´avance

christophe

[doudache]

Salut !

ln((1+u)/(1-u))

Ça ressemble très fortement à un argth, fonction dont on connait le développement en série entière.

[christophe_de_Berlin]

oui, t´as l´air d´avoir raison Doudache, ça a l´air de marcher.

Mais maintenant j´ai une autre colle: On me demande de calculer la somme de la série entière suivante:

S(x) = Somme ((-1)^n * x^(4n-1)/4n)

Bon, ça a pas l´air dûr, mais je suis débutant. J´ai fait le raisonnement suivant:

- multiplication par x:

x*S(x) = Somme ((-1)^n * x^(4n)/4n)

Je factorise 1/4:

x*S(x) = 1/4 * Somme ((-1)^n * x^(4n)/n)

maintenant si je pose X = 4x, j´obtiens:

x*S(x) = 1/4 * Somme ((-1)^n * X^n)/n)

Or cette somme est connue, c´est 1/(1+X). J´obtiens donc:

x*S(x) = 1/(1+ x^4)

J´ai donc le résultat:

S(x) = 1/(4*x*(1+x^4))

Bon ben j´ai beau chercher, je vois pas ce qu´il y a de faut dans ce raisonnement. Le problème c´est que le corrigé est complètement différent, il utilise les dérivées ect... et arrive à un résultat complètement différent avec des ln(x).

quelqu´un a une idée?

merci d´avance

[rvz]

x*S(x) = 1/4 * Somme ((-1)^n * x^(4n)/n)

maintenant si je pose X = 4x, j´obtiens:

x*S(x) = 1/4 * Somme ((-1)^n * X^n)/n)

Or cette somme est connue, c´est 1/(1+X)

Ton erreur est ici. Cette somme, c'est ln(1+X). En plus, je suppose que tu voulais dire X= x^4, mais bon, vu la suite, ça doit être une faute de frappe. Ainsi, je pense que tu trouveras 1/4 ln(1+x^4)/x, non ?

__
rvz

[christophe_de_Berlin]

ah ben oui, en effet, erreur idiote, j´ai confondu la série de 1/(1+x) et celle de ln(1/1+x).

Et t´as aussi raison, c´était effectivement une erreur de frappe, je voulais dire évidement X = x^4.

bon ben merci