Nature d'une série

[invite423aa977]

Bonjour,

Je cherche la nature de la série suivante:



Avec la règle d'Abel qui se trouve dans mon cours il faudrait que je demontre que:




est bornée mais je sais pas du tout comment faire. Pourriez vous m'aider? Merci.
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[The Artist]

tu peux tenter de simplifier la somme par les complexes non?

[invite423aa977]

J'ai vu qu'une methode était d'etudier la serie



mais cela fait appel aux séries entieres il me semble dans la résolution finale (preuve que j'ai vu) alors que cette exercice traine dans une feuille de début de semestre de séries numériques. D'ailleurs nous ne l'avions pas traité c'est pour ça que je pose la question aujourd'hui pendant mes revisions de cette matière.

[matthias]

Comme dit The_Artist, tu peux te ramener à la partie réelle de complexes plus agréables à manier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite423aa977]

Je vais essayer ça, c'est vrai que j'y avais pas pensé. Sinon merci d'avoir posté pour dire la meme chose parce que je n'avais pas compris où il voulait en venir exactement.

[GuYem]

Salut.

Quelle précision as-tu sur t ? Est-il destiné à tendre vers 1 à la fin de l'exo ?
Une observation conne : si t=0, t'es pas prêt (prête) de montrer la bornitude dont tu as besoin ...

[invite423aa977]

Aucune précision du t, je pense que je dois à un moment ou un autre différencier des cas. Et pas d'autres questions dans l'exercice à part celle que j'ai posé ici.

Par contre je vois pas comment etudier la serie des exp étant donné que je suis pas sur qu'on puisse utiliser les series geométriques. Pour moi module de (exp(it))=1.

[matthias]

Par contre je vois pas comment etudier la serie des exp étant donné que je suis pas sur qu'on puisse utiliser les series geométriques. Pour moi module de (exp(it))=1.

Tu ne cherches pas la convergence, mais la "bornitude". Et quel que soit le module, tu dois savoir calculer une somme finie de termes d'une suite géométrique. Ensuite tu peux chercher à borner.

[invite423aa977]

Euh deja je ne sais pour qu'elle raison j'etais partis sur la somme infinie:

Alors:

1°) Si t=0 la serie de depart diverge.

2°) t!=0











On prend la partie réelle:



t étant fixé on a que c'est borné.

Voila a peu près a quoi je pense, si je me suis trompé, que ça roule ou pire que je fais n'importe quoi merci de me le dire.

[matthias]

Wow, c'est compliqué Je n'ai honnêtement pas lu, j'ai deux remarques.
e^it = 1 n'est pas équivalent à t = 0
Une inégalité triangulaire devrait suffire.

[invite423aa977]

Une inégalité triangulaire devrait suffire.

Comment ça?

Sinon il faut que mon sin(t/2) soit différent de 0 donc ça me vire pas mal de t.

[matthias]

Tu n'as pas besoin d'introduire de sinus, ni de faire aucune modification sur ta formule. Tu exprimes simplement la somme de termes d'une suite géométrique et tu appliques directement une inégalité triangulaire.

[invite423aa977]

Oui donc tu veux me dire que si le module est borné alors la partie reelle le sera. Dans ce cas en enlevant les t tel que exp(it)=1 on a une majoration independante de n. (on majore le numerateur par 2, non?)

Je pense que dans l'idée j'ai compris, si je suis peut etre aussi "fatiguant" c'est que je prefere avoir un truc au propre et etre persuadé que c'est la bonne solution. Merci.

[invite8b04eba7]

Tu n'as pas besoin d'introduire de sinus, ni de faire aucune modification sur ta formule.

L'intérêt d'avoir une majoration en 1/(sin(t/2)) c'est quand même de pouvoir prouver une convergence uniforme sur tout compact de R\2piZ (en utilisant Abel).