Inverse d'une matrice

[lolouki]

Bonjour tout le monde,

Ayant fini mes cours de 1ere annee de licence mias, j'etais en train de ranger mes cours d'algebre quand je me suis posé une question.

J'ai eu un cours sur les matrices, et donc on a étudier les matrices inversibles. Mais je n'ai pas compris concretement comment on savais si une matrice était inversible et dans ce cas, comment calculte t'on l'inverse ?

merci d'avance pour votre aide.

[rvz]

Bonjour.

Un critère pour savoir si une matrice est inversible : Le déterminant !

Une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul.

Par contre, calculer l'inverse est beaucoup plus difficile. Tu peux utiliser la formule transposée de la comatrice divisé par le déterminant, ou bien résoudre un système géant et faire un pivot de Gauss, et c'est bien plus rapide numériquement.

__
rvz

[akabus47]

Bonsoir

Une matrice est A est inversible si son determinant est different de 0 ( entre autre) , ou s'il existe une matrice B telle que A*B=B*A=I .

Il y a plusieur methodes pour trouver A^(-1)
comme :

A^(-1)=[1/det(A)]*transposée de la comatrice de A

ou encore la methode de Gauss-Jordan , .........

[akabus47]

Ha voila , RVZ m'a devancé....

[lolouki]

Ok merci beaucoup, je vosice qu'est le systeme de Gauss.

Par contre qu'est ce que le cofacteur ?

[lolouki]

Enfin je veux dire quel est le terme général de la comatrice ?

[akabus47]

Pas le cofaceur , la comatrice

Si A=(a_i,j) , alors

Si com(A)=(b_i,j)

b_i,j=(-1)^(n+1) * le determinant de ta matrice A a la quelle tu a enlevé la i^ème ligne et la j^ème colonne

C'est ce terme le cofacteur je crois

[lolouki]

Ok merci beaucoup

[matthias]

b_i,j=(-1)^(n+1) * le determinant de ta matrice A a la quelle tu a enlevé la i^ème ligne et la j^ème colonne

C'est (-1)^i+j pas (-1)ⁿ⁺¹

[akabus47]

En effet , dslé pour l'erreur

[indian58]

J'ai une question à propos de l'inversion d'une matrice: comment fait-on pour en inverser une temps linéaire??
Pour moi, la méthode la plus rapide est de calculer le polynôme caractéristique.

[matthias]

J'ai une question à propos de l'inversion d'une matrice: comment fait-on pour en inverser une temps linéaire??

Je ne sais pas s'il existe un algorithme qui fasse ça. J'en doute.

Pour moi, la méthode la plus rapide est de calculer le polynôme caractéristique.

Et tu le calcules comment le polynôme caractéristique ?

[fderwelt]

J'ai une question à propos de l'inversion d'une matrice: comment fait-on pour en inverser une temps linéaire??

Bonjour,

Linéaire? Niet. Sauf cas particuliers. Voir le site de Numerical Recipes par exemple (je suis en vacances et j'ai pas les références exactes sous la main, y'a qu'à googler).
Mais en n.log(n), ça oui, même si ça demande des astuces sordides et si la précision numérique s'en ressent.

-- françois

[fderwelt]

Bonjour,

Oups. J'ai dit une grosse bêtise:

Mais en n.log(n), ça oui, même si ça demande des astuces sordides et si la précision numérique s'en ressent.

Consulté le site de Numerical Recipes (http://www.nr.com) et voilà le résultat.

En principe l'inversion d'une matrice nxn est en n³. Mais avec pas mal de bricolages sordides, on peut arriver à limiter les dégâts à n^(log₂ 7), soit environ n^2.8, ce qui n'est pas très intéressant si n n'est pas vraiment gigantesque.

En tout cas, rien à voir avec n.log n, contrairement à ce que je disais... Je confondais avec la multiplication par transformée de Fourier, qui n'a rien à voir. Désolé.

-- françois

[rvz]

En principe l'inversion d'une matrice nxn est en n³.

Bonjour,

C'est bien par la méthode du pivot de Gauss qu'on obtient ça ?

Mais avec pas mal de bricolages sordides, on peut arriver à limiter les dégâts à n^(log₂ 7), soit environ n^2.8, ce qui n'est pas très intéressant si n n'est pas vraiment gigantesque.

lol Je serais curieux de voir une méthode sordide !

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rvz