Bonjour,
Cela commence à faire un petit bout de temps que je me creuse les méninges pour démontrer l'égalité suivante :
xy <= xlnx + exp(y-1)
avec x>0
y quelconque.
J'ai essayé en partant de y-1 et de passer à l'exponentionnel, je suis pas très loin de l'inégalité à chaque, mais je ne tombe jamais exactement dessus.
Quelqu'un aurait-il un indice pour m'aider ? Y a-t-il une subtilité que je n'aurais pas vue ?
Bonjour,
Si tu veux démontrer ça, tu peux par exemple essayer de calculer la fonction convexe conjuguée du logarithme : (f(x) = x ln(x))
Pour tout p, tu définis.
Tu peux calculer cette fonction explicitement. Ca devrait te redonner la fonction
Dans ce cas, tu auras alors pour tout p et x,
et f* est bien sûr la plus petite fonction qui vérifie ça.
Tu as même le résultat suivant : Egalité ssi y = ln(x)+1, (il suffit de bien regarder les calculs)
Cette théorie a été développée par Rockafellar, et elle est souvent associée à l'analyse convexe. Repose essentiellement sur Hahn Banach en dimension infinie, et est assez facile en dimension finie (à condition de ne pas s'emmêler les pinceaux).
Sinon, l'autre méthode consiste à étudier la fonction
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rvz, qui préfére clairement la première méthode
bonjour,
j'ai plutot utilisé du bricolage
bon ba je me suis lancé
et on peut faire
on a alors
on a
donc il faut etudier la fonction
Joli.
Et habile.
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rvz
Pour reprendre l'explication de chwebij, quand on étudie la fonction, on a toujours f(t)>0. Donc on perd le cas d'égalité non ?
Et j'ai pas très bien compris d'où provient la première ligne...
Quant à l'explication de rvz, je n'y aurais vraiment pas pensée, mais c'est une belle démo !
Non. En fait, f(-1) = -e + e = 0.
On retrouve bien le cas d'égalité annoncé.
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rvz
Erreur de lecture de ma part. J'avais pas vu la différence entre ce qui est en indice et ce qui n'y est pas. Maintenant, j'ai tout compris
Donc f supérieur ou égal à zéro, dc tjs l'égalité. Ok.
