Test pour les nombres de Mersenne ?

[Ramoucho]

Bonjour !

En faisant des recherches sur les nombres premiers de Mersenne j'ai "découvert" une formule (je sais pas si quelqu'un d'autre la trouvé ) la voici :

(2^p-2)/p mod (np+1) = n lorsque p n'est pas un nombre premier de Mersenne :

ex : (2¹¹-2)/11 mod (11*2+1) = 2 et (2¹¹-2)/11 mod (11*8+1) = 8 donc 11 n'est pas un nombre premier de Mersenne.

pour p=13 par exemple on ne tombe jamais sur ce cas de figure avant n=(2¹³-2)/13 soit 630 mais pour p=11 on tombe dessus lorsque n=2 et n = 8

Bien sur faut tester pour chaque n jusqu'à cela se ”stabilise”. J'ai teste jusqu'à p=59 avec Excel ne pouvant faire plus et cela semble fonctionner.

Voila je voulais savoir si c'était quelque chose déjà vu ou si c'est quelque chose de nouveau.

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Une première chose : que veut dire pour toi "lorsque p n'est pas un nombre premier de Mersenne". Car tu parles de 11, qui n'est pas un nombre de Mersenne. Il serait bon que tu présentes ta propriété de façon plus stricte, pour qu'il n'y ait pas de problème d'interprétation. Tu peux utiliser les notations traditionnelles. Pour l'instant, on ne peut même pas tester ton affirmation, elle est trop floue.
Quand tu dis "découvert", tu veux dire que tu l'as prouvé ? Ou seulement que tu as testé pour quelques nombres, et que, pour ces nombres, ça marche.
Autre chose : Est-ce que ça a un intérêt (autre que "c'est une propriété") ?

Cordialement

[Ramoucho]

Bonjour gg0, Merci pour votre retour. Je suis désole si je fais des approximations je ne suis pas mathématicien de base mais chimiste

Je ne pense pas avoir prouvé quelque chose je n'ai pas les connaissances suffisantes je pense en math pour cela. Je voulais juste faire part de quelque chose que j'ai remarqué en m'amusant avec les nombres premiers.

Les nombres premiers de Mersenne si je ne dis pas de bêtises sont les nombres premiers de la forme 2^p-1 avec p premier. Par extension les nombres de Mersenne sont les nombres qui sont égaux a 2^p-1 qu'ils soit premier ou non (toujours avec p premier). Encore une fois j'espère ne pas dire d'erreur.

Pour la formule que j'utilise, elle permet de déterminer les diviseurs d'un nombre de Mersenne non-premier comme M11, M23 ou M29 comme avec l'exemple que j'ai cité avec le nombre 11.

Sur Excel, j'utilise la formule x=(MOD((2^p-2)/p;p*n+1))-n avec p nombre premier fixe et n = 1, 2, 3, 4, 5, etc. Lorsque ce résultat de la formule est égal à 0 alors p*n+1 est un diviseur de 2^p-1. Par exemple =(MOD((2^11-2)/11;11*2+1))-2=0 donc M11 n'est pas premier car 2*11+1 = 23 est donc un diviseur de 2^11-1.

Si la formule n'est jamais égale à 0 (pour n<(2^p-2)/p) alors 2^p-1 est premier.

Je l'ai seulement testé pour quelques nombres également c'est pour ça que je n'ai rien prouvé, juste constaté.

Voila. Si y a besoin de plus de précision je suis la

[GBZM]

Bonjour,

Soit le nombre de Mersenne d'indice . Si avec et ( entiers), alors n'est sûrement pas premier. La condition est bien suffisante pour que ne soit pas premier

Après, s'il faut tester tous les jusqu'à pour savoir que n'est pas premier, ça ne vaut vraiment pas le coup.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ramoucho]

Après, s'il faut tester tous les jusqu'à pour savoir que n'est pas premier, ça ne vaut vraiment pas le coup.

Justement on peut s'arrêter avant mais quand c'est ce que j'ai du mal à déterminer.

[GBZM]

Avec le test le plus naïf, il suffit d'essayer jusqu'à ....

[Ramoucho]

Oui je pensais également à la racine.

[Deedee81]

Salut,

C'est malheureusement inutilisable en pratique (la racine d'un nombre colossal étant colossale).
Les algos actuels sur les nombre de Mersenne étant beaucoup plus efficaces.
(il y a aussi les algos probabilistes, extrêmement efficaces mais, bon, ils sont.... probabiliste )

[gg0]

Ramucho,

t'es-tu renseigné sur les tests classiques (le test de Lucas, par exemple) ? (voir Wikipédia)