(a²b²6)+1 n'est jamais un carré?

**leg** · 10/08/2006, 07h39

bonjour a tous
si je prend (4*6)+1 = 5²
mais si je rajoute un carré par ex (4*9*6)+1 je n'obtient plus de carré??
je comprend que (4*9*1)+1 ne peut être carré
est ce que cela vient du fait de rajouter un carre...
si vous avez une idée merci

invite636fa06b · 10/08/2006, 08h20

Bonjour,

Tu as (1²*2²)*6+1 = 5²

Mais aussi, moins trivialement
(5²*4²)*6+1 = (10²*2²)*6+1 = 49²
(99²*2²)*6+1 =(33²*6²)*6+1 = 485²
et bien d'autres...
On peut trouver assez facilement toutes les solutions de l'équation diophantienne 6a²+1=b²
Il y en a une infinité et la plupart des a ne sont pas premiers.2 ; 20; 198;1960;19402;192060....

invite636fa06b · 10/08/2006, 09h11

En fait, il n'y a que le couple (2,5) où a est premier (ils sont tous pairs)
Tu peux obtenir la suite des couple par la récurrence :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

invite636fa06b · 10/08/2006, 12h51

Si j'ai bien compris tu cherches un triplet a,b,c vérifaint simultanément les deux équations diophantiennes :
6a²+1=b² et 12a²+1=c²
La seconde a pour solution une suite récurrente :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Elles ont au moins en commun les deux premiers a.
Je ne pense pas qu'il en existe d'autres (à vérifier)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**leg** · 10/08/2006, 13h02

zinia, tu veux bien dire par là qu'il n'y aurait qu'une solution unique avec a = 2 !
ce qui donne (24*25)/6 = 4*25 et
4*25 *(23+26) = 4*25*49 =z²..

invite636fa06b · 10/08/2006, 13h48

Il faudrait regarder d'un peu plus près mais d'abord est-ce que la formulation que j'ai faite (message n°7) est correcte ?
C'est difficile de comprendre précisément le problème, tu introduit de nouvelles variables à chaque ligne, les équations ont un signe égal à l'intérieur de parenthèses...

**leg** · 10/08/2006, 14h00

je cherche à trouver pourquoi il n'y a qu'une solution
a cette équation
[(24*25)(23+26)]/6 = z²
a = 2
nous avons donc bien [(n + (n+3))(n+1 * n+2)]/6 = z²
que j'ai redécomposé différement pour essayer de comprendre
ce qui me donne 6a²...etc etc

invite636fa06b · 10/08/2006, 14h17

Bon, je crois deviner que tu cherches à savoir si la somme des n+1 premiers carrés peut être elle même un carré
Non ?

**leg** · 10/08/2006, 15h20

c'est exact ,et tu as du reconnaître
que je décompose un nombre Pyramidale PYR, en deux nombres tétrahédriques consécutifs,Tn et Tn-1
$PYRn=Tn+Tn-1$
comme tu me l'à fait remarquer, il s'agirait de deux suites récurentes utilisant le même a mais qui n'aurait comme seule et unique solution a=2 soit le triplet 4,25,49
("des rechercherches utilisant le modulo 6 n'aboutisse pas avec n=1(6) mais je pense que cela est normale puisque une solution existe!")
donc j'ai redécomposé ce nombre PYr en somme de deux Tn, tn et tn-1 afin de simplifier ou d'y trouver une autre idée
ce qui fait apparaître tes deux suites qui à priori ne peuvent que commencer avec a=2, donner la première solution puis impossible par la suite .

et 6a²+1=b² et 12a²+1=c²
d'où 6a² /6 =a²
a²*b²*c²= z²
nous somme donc d'accord qu'en partant de cette première condition,puisqu'il en existe, qu'il me suffit de diviser 6a² par 6 = a² où 6a²+1 est un carré mais je ne peut pas diviser
12a²+1= c² par 6 ce qui me fausserait le résultat.

car le produit est =
[(6a² * (6a²+1)) ((6a²-1)+(6a²+2))] / 6 =

[(6a² * (6a²+1)) ((12a²+1)] / 6=

(a² * (6a²+1)) (12a²+1)= 4900 si a=2

invite636fa06b · 10/08/2006, 16h18

Il est sans doute possible de raisonner avec les courbes elliptiques :
A partir de ton point de départ : $\text{[math]}$
on peut poser : $\text{[math]}$
qui donne l'équation $\text{[math]}$
Dont on connait deux solutions (0,0) et (49/6,70/3)
Cela devrait suffire pour trouver d'autres solutions rationnelles

invite636fa06b · 10/08/2006, 16h56

Finalement l'équation (n+1)(n+2)(2n+3)=6z² n'a bien que la solution évoquée (n=23) à laquelle il faut rajouter, pour être complet les solutions triviales : n=-1 et n=0

**leg** · 10/08/2006, 10h05

merci zinia
alors mon idée se complique serieusement.

car en ayant trouvé cette condition, il m'est impossible de savoir pourquoi la deuxième condition n'est obtenu au dela de a = 2
6a² = n
n+1 = b²
(n-1) + (n+2) = c² n'aurait pas de solution!

d'où (6a²*b²*c²)/6 = u² ; n'aurait qu'un cas unique, vu comme cela ça parait impossible

la première condition est remplie je n'ai pas la deuxième, et vis versa
en supposant que j'ai la première condition avec a > 2 :

(6a² * (6a²+1) * c²)/6 =....

(6a²*(6a²+1)*((6a²-1)+(6a²+2)))/6 =...

invite636fa06b · 10/08/2006, 10h22

J'avoue ne rien avoir compris à ton dernier message.
C'est quoi la condition 1 ? La condition 2 ?

**leg** · 10/08/2006, 11h59

j'ai la première condition
6a² = n
n+1 = b²
donc jai trouvé [6a²*((6a²+1)=b²)]/6 =x²

deuxième condition
[(6a² -1) +(6a² + 2)]y²

d'où x²*y²=z².
soit je trouve x² mais je n'ai pas y² , ou l'inverse, au dela de a = 2.

(a²b²6)+1 n'est jamais un carré?

Vue hybride