Processus stochastique/ Espérance conditionnelle

[Xor2023]

Pouvez vous m'aidez a calculer les espérance conditionnelle suivante: E(X|T) et E(T|X) sachant que X est une variable aléatoire normale centrée réduite et T= sgn(X) ou sgn(x) = 1 si x>=0 et -1 si x<0 ? Merci
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[GBZM]

Bonjour,
Pour le premier, ce n'est pas très difficile de calculer et .
Pour le second, c'est encore plus facile vu que est définie comme fonction de .
Après, il faut connaître la définition de l'espérance d'une variable aléatoire conditionnée par une autre variable aléatoire.

[Xor2023]

ok. Si je suis la logique et si mes calculs sont bons je trouve alors que E(X|T)=0. j'ai oublier de préciser que X suit une loi normale centrée réduite. Cela semble t-il correcte alors?

[GBZM]

Non. Tu n'as pas répondu à la question : que vaut ? ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Xor2023]

E[X∣T=1]=E[X*I {T=1}]/P(T=1)
E[X∣T=-1]=E[X*I {T=-1}]/P(T=-1)
P(T=1)=P(T=-1)=1/2 comme x suit une loi normale
je pense que E[X*I {T=1}]= E[X]=0 et E[X*I {T=-1}]= -E[X]=0

[MissJenny]

C'est un peu plus compliqué que ça... tu dois calculer des intégrales, l'une sur (-infini,0) l'autre sur (0, +infini) (qui sont les images réciproques de -1 et 1 par T). En fait comme la loi de Y est symétrique tu peux n'en calculer qu'une seule.

[GBZM]

je pense que E[X*I {T=1}]= E[X]=0

Ben non. L'espérance de X n'est pas l'espérance de X sachant que X est positif ou nul.

[Xor2023]

ok je vais y réfléchir encore alors

[Xor2023]

vous pouvez mieux expliquer? Je ne vois pas encore concrètement comment faire. Merci

[GBZM]

On a . Tu as donc à calculer , et après à rentrer ça dans . Relis le message de MissJenny.