Bonjour,
j'ai commencé un exercice et je rencontre des difficultés.j'aurai besoin d'aide. Voici l'énoncé
"Déterminer en justifiant vos réponses limk→∞A^k dans les cas suivants i) rayon spectral de A inferieures a 1, ii) rayon spectral de A égale a 1 et iii) rayon spectral de A supérieure a 1". A étant une matrice de R de taille n*n
Merci pour vos orientations
Bonjour,
Ce sera plus vislble dans une base où A est diagonale...
Quelles sont les valeurs propres de A^k en fonction de celles de A? Quelles peuvent être les limites de ces valeurs propres quand k tend vers l'infini? Que va alors valoir le rayon spectral de A^k?
NB : Attention, dans le cas où le rayon spectral vaut 1 :
- il peut y avoir plusieurs valeurs propres de valeur absolue égale à 1
- le signe de ces valeurs propres peut être 1 ou -1
Dernière modification par Resartus ; 13/10/2023 à 07h26.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bonjour,
"Ce sera plus vislble dans une base où A est diagonale..."
Une matrice est-elle toujours diagonalisable ?
Oups, en effet
Par contre, si la matrice n'est pas diagonalisable, je ne vois plus ce qu'on peut dire de la matrice A^k même dans le cas simple où le rayon spectral est strictement inférieur à 1.
Mais peut-être la question a-t'elle été mal recopiée et qu'on demandait seulement la limite du rayon spectral de A^k
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bonjour,
Ne pourrait-on alors pas passer à une décomposition en valeurs singulières ? Je crois que me souvenir que toute matrice à coefficients dans R au moins admet une telle décomposition.Envoyé par GBZM
Toute matrice complexes'écrit de manière unique comme
Merci pour l'orientation mais j'arrive toujours pas a me retrouver a comment aboutir au résultat en utilisant le fait que A=D+N
oui mais comment puis je utiliser cette information?
Tu peux élever D+N à la puissance n (en utilisant que N est nilpotente et commute avec D), et voir ce qui se passe, si toutes les valeurs propres de A (et donc de D) sont de module < 1, quand on fait tendre n vers l'infini.
D'accord. J'essaie ca voir si j'y arrive.Merci
