Définition de la différentielle

[joq35]

Bonjour à tous,

Je suis en train de démontrer que la fonction f : (x,y) --> (x^2y , xy^3) est différentiable.
J'ai montré via les dérivées partielles (qui existent et son continues) que f est différentiable, et on a :

df(x,y).(h,k) = h(2xy, y^3) + k(x^2, 3xy^2)

J'essaye maintenant de montrer que f est différentiable via la définition.
Je calcule f(x+h, y + k) et j'obtiens
f(x+h,y+k) = f(x,y) + h(2xy, y^3) + k(x^2, 3xy^2) + (2hkx + h^2*y+h^2*k, 3xy*k^2 + xk^3 + 3hky^2 + 3hk^2y + hk^3)

J'ai justifié que l'application (h,k) --> h(2xy, y^3) + k(x^2, 3xy^2) est linéaire.
Il me reste à montrer que (2hkx + h^2*y+h^2*k, 3xy*k^2 + xk^3 + 3hky^2 + 3hk^2y + hk^3) est un petit o de la norme de (h,k).
Et là je sèche un peu. Quelle norme serait la plus simple à utiliser ici ? Comment pourrais-je faire ? Merci pour votre aide.
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[Resartus]

Bonjour,
Pour répondre à votre question précise, max(|h|,|k|) est bien une norme, et elle rend évidente la démonstration que vous cherchez (les termes sont tous d'ordre au moins h^2,hk ou k^2).

Mais toute autre norme ferait l'affaire (soit résultat du cours sur l'équivalence des normes, soit à la main en majorant cette norme par a.fois max(|h|,|k|)) pour se ramener à la question précédente

[joq35]

Bonjour,

Merci pour votre aide.
Si je comprend bien, je dois calculer (max((2hkx + h^2*y+h^2*k, 3xy*k^2 + xk^3 + 3hky^2 + 3hk^2y + hk^3))/(max(h,k)) quand (h,k) tend vers 0. (je n'ai pas mis les valeurs absolues pour h et k)
Pour cela, je majore hk par max(h,k)^2 au numérateur.
On pourra simplifier au final le numérateur et le dénominateur en divisant par max(h,k). Et on conclut que cela tend vers 0. C'est bien cela ?
J'ai encore du mal avec les calculs de petit o mais cela viendra. Merci à vous.