Méthode pour savoir si une fonction est injective

[Matt1627]

Bonjour, j'ai bien compris pour une fonction linéaire f (on va la prendre à une seule variable) que pour montrer qu'elle n'est pas injective il faut résoudre f(x)=0 et trouver au moins une solution différente de 0 mais je ne comprends pas dans l'autre sens pour montrer qu'elle est injective. En quoi montrer que x=0 est la seule solution de f(x)=0 suffit ? Par exemple, il peut y avoir f(4)=f(7)=6, pourquoi regarde-t-on qu'en 0 ? Je pense que je néglige forcément quelque chose mais je ne sais pas quoi. Pourriez-vous m'éclairer là-dessus ?

Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
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[gg0]

Bonjour.

on suppose donc f linéaire de E vers F. La non-injectivité est équivalente à l'existence de deux éléments distincts a et b de E, tels que f(a)=f(b). soit encore, f(a)-f(b)=0; et par linéarité f(a-b) = 0.
a et b étant distincts, x = a-b est non nul. Donc
f non-injective ===> il existe un élément non nul x tel que f(x)=0
Ensuite on contrapose cette propriété :
Pour tout x non nul f(x)=0 ===> f est injective.

Cordialement.

[Matt1627]

Ah d'accord bah merci beaucoup pour votre démonstration très claire.

[Matt1627]

Juste petite question: on aurait pu mettre une équivalence à "f non-injective ===> il existe un élément non nul x tel que f(x)=0" et à la dernière ligne non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui, mais je répondais à la question telle qu'elle est posée.
C'est d'ailleurs une évidence compte tenu de la linéarité : f(x)=0 <==> f(x)=f(0). Donc si x est différent de 0, f n'est pas injective; c'est la réciproque qui est moins évidente.

[Matt1627]

D'accord, je voulais être sûr, merci beaucoup.