Définition : fonction continue par morceaux.

[kron]

Bonsoir !
Voilà mon probleme :
En sup, on apprend la définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment [a,b].
C'est donc une fonction telle qu'il existe une subdivision adaptée à la fonction telle que la fonction restreinte à chaque subdivision soit continue et a une limite finie aux deux bornes de la subdivision.

Or, en spé (PSI) le premier chapitre concerne les intégrales impropres et on y parle de fonctions continues par morceaux sur un ouvert ]a,b[. Quelle est la différence avec la définition apprise en sup ?
Peut-on avoir des limites infinies en a et en b ? Et si a ou b est égal à l'infini, peut-on avoir un cas de limite indéterminée ? (à cause d'un cosinus, par exemple)

Merci d'avance pour vos réponses.

Cordialement.

Kron

[IceDL]

Bonsoir a toi aussi,

Bonsoir !
Voilà mon probleme :
En sup, on apprend la définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment [a,b].
C'est donc une fonction telle qu'il existe une subdivision adaptée à la fonction telle que la fonction restreinte à chaque subdivision soit continue et a une limite finie aux deux bornes de la subdivision.

Hmm, ceci n'est pas tout a fait exact (en tout cas pas comme tu le dis : je ne sais pas si j'ai bien compris)

Une fonction continue par morceaux sur [a,b] est une fonction telle qu'il existe une subdivision adaptée à la fonction telle que la fonction restreinte à chaque sous-intervalle ouvert de la subdivision soit continue.
Ceci authorise notamment une discontinuite au bord (auquel cas il n'y a pas de limite finie aux bornes...).

Or, en spé (PSI) le premier chapitre concerne les intégrales impropres et on y parle de fonctions continues par morceaux sur un ouvert ]a,b[. Quelle est la différence avec la définition apprise en sup ?
Peut-on avoir des limites infinies en a et en b ? Et si a ou b est égal à l'infini, peut-on avoir un cas de limite indéterminée ? (à cause d'un cosinus, par exemple)

C'est tout simple : une fonction continue par morceaux sur un intervalle I de R sera simplement une fontion continue par morceaux sur tout sous-segment [a,b] de I. On peut donc avoir des limites infinies en tout point de l'adherence de I (par exemple en a et b pour ]a,b[).

Par contre que veux-tu dire par limite indeterminee ?

[Ithilian_bzh]

Moi j'ai encore une autre définition, plus générale : (copyrigthée par mon prof de maths de spé )

Une fonction f est machin par morceaux sur [a,b] si il existe une subdivision a_i de [a,b] telle que la restriction de f à chaque ]a_i,a_i+1[ soit prologeable en une fonction machin sur le fermé correspondant.

Comme ça on a les continues par morceaux mais aussi les constantes par morceaux (en escalier), et les C^k par morceaux.

[kron]

Merci à vous deux pour les réponses. Je vois mieux à présent.
Pour le coup de la limite indéterminée, c'était juste par exemple si on a f=cosx, par exemple, et la limite de f quand x tend vers l'infini n'existe pas.
Mais en fait ce cas ne me pose pas tellement de problèmes, donc c'est bon.
Voila, bonne journée à vous, et merci encore.

[IceDL]

Moi j'ai encore une autre définition, plus générale : (copyrigthée par mon prof de maths de spé )

Une fonction f est machin par morceaux sur [a,b] si il existe une subdivision a_i de [a,b] telle que la restriction de f à chaque ]a_i,a_i+1[ soit prologeable en une fonction machin sur le fermé correspondant.

Comme ça on a les continues par morceaux mais aussi les constantes par morceaux (en escalier), et les C^k par motrceaux.

Salut,

En fait je me suis rendu compte en lisant ton post que j'avais dit une assez grosse betise : ma definition n'est pas juste (par contre la tienne c'est .la bonne, tout me revient maintenant... ah les vacances).

Sorry pour toi kron, mais par contre la generalisation reste bonne .

Allez @+

[kron]

Hehe, oui j'ai revu ça aujourd'hui.
Pas grave, IceDL ^^

Merci encore à vous deux.

PS : Ithilian, c'est de la triche tu as eu un super prof de maths...

[sehelmehel]

Salut a tous.

Définition
On dit qu’une fonction f est continue par morceau sur [a; b] si f est continue sur [a; b] sauf peut-être en un nombre fini de points en lesquels elle possède des limites finies à gauche et droite (pas nécessairement égales)