Statistiques: Résultats contradictoires lors de l'inversion des hypothèses d'un test

[Anubis]

Bonsoir, l'exo traite deux situations :Soit un échantillon de taille N=20 prélevé dans une population normale X de variance σ² connue qui vaut 10 , mais de moyenne m inconnue. Considérons les hypothèses :
H₀ : m =m₀ =80 contre H₀ : m =m₁ =78
Puis H₀ : m =m₀ =78 contre H₀ : m =m₁ =80.
L'échantillon donne une moyenne de m=79.11 et le risque de première espece dans les deux cas est 0.05
Dans le premier cas je trouve que le domaine d'acceptation de H₀ est donné par X̄>78.84, ainsi H₀ est acceptée, donc m=80.
Dans le deuxième cas je trouve que le domaine d'acceptation de H₀ est donné par X̄<79.16, ainsi H₀ est acceptée, donc m=78.
On voit donc qu'il y a une ambiguïté au niveau de la décision, on ne sait pas quelle valeur de m est plus raisonnable.
On me demande de proposer une solution pour résoudre ce conflit. Parmi les éventuelles solutions il faut augmenter la valeur N de la taille de l'échantillon pour réduire l'incertitude et offrir une estimation plus précise de la moyenne réelle . J'ai vu également qu'il faut essayer de minimiser le risque de deuxième espèce. Quelle solution pensez vous etre la plus adequate ? Merci !
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[gg0]

Bonjour.

II faut être réaliste : choisir entre 78 et 80 à partir d'un échantillon de valeur 79 ne peut être raisonnable. Augmenter la taille de l'échantillon pourra donner un résultat si la moyenne s'écarte de 79, mais ce n'est pas obligatoire ! Quant à l'erreur de seconde espèce, elle va reproduire la même situation.

Cordialement.

[Anubis]

Bonsoir gg0, je vois ce que vous dites. Mais est ce que vous pouvez m'indiquer comment je peux résoudre cette ambiguïté ? (Je ne vois pas d'autres paramètres à optimiser)

[gg0]

Non, je ne vois pas de méthode, à part refaire un échantillonnage en espérant avoir eu un échantillon un peu particulier; et bien sûr de plus grande taille.
Je ne comprends pas l'intension de celui qui a posé cet exercice. Si on obtient la même moyenne avec n de plus en plus grand, il arrivera qu'un test soit positif et pas l'autre, mais en augmentant encore n, les deux seront négatifs. C'est une situation malsaine, où on peut admettre des hypothèses, mais avec de très fortes chances de se tromper.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anubis]

Bonjour gg0, je vois ce que vous dites et me parait complètement logique tant qu'on sait pas si n a une influence sur la valeur de la moyenne. Merci et bonne journée.

[MissJenny]

tu fais bien des tests unilatéraux?

[Anubis]

Bonjour MissJenny,
Oui, il s'agit bien d'un test unilatéral. En réalité, cet exercice s'inscrit dans un contexte particulier : il vise à tester, sur un échantillon d'avions, le niveau moyen de bruit. L'aéroport prétend que ce niveau est de m=78 dB, tandis que les riverains, situés à proximité, affirment qu'il atteint m=80 dB. Nous cherchons donc à déterminer qui a raison, ce qui rend un test unilatéral particulièrement approprié pour cette situation.

[MissJenny]

je trouve votre approche un peu bizarre. Il n'y a pas de raison pour que le niveau de bruit soit 78 ou 80. Tu postules un modèle statistique avec deux valeurs pour le paramètre mais ce modèle n'est pas réaliste à mon avis.

[Anubis]

je trouve votre approche un peu bizarre. Il n'y a pas de raison pour que le niveau de bruit soit 78 ou 80. Tu postules un modèle statistique avec deux valeurs pour le paramètre mais ce modèle n'est pas réaliste à mon avis.

C'est pas moi qui l'ai fait, c'est l'énoncé de l'exercice. Mais cela ne veut pas dire qu'ils ont raison. Peut être ça serait mieux de définir un seuil (80 par exemple) et que les hypothèses soient de la forme m>80 et m<80.

[vgondr98]

Peut-être que je répond à côté de la plaque.
Il ne suffit pas de calculer un intervalle de confiance ?
http://www.learningaboutelectronics....ce.php#reponse
Avec une moyenne de 79,11, un écart-type de 3,16 (racine carré de 10) et n valant 20, j'obtiens :
nous sommes 95% confiant que la valeur moyenne est entre 77,63 et 80,59.

Avec n = 200 et le reste qui ne change pas, j'obtiens : nous sommes 95% confiant que la valeur moyenne est entre 78,67 et 79,55

A quoi servent les hypothèses H0 ?

[itslunyitsluny]

Bonjour,
Si je ne dis pas de bêtises, l'intervalle de confiance permet de donner une plage de valeurs possibles de la valeur moyenne m. Cependant un test d'hypothèses, qui est composé de deux hypothèses complémentaires, permet de donner dans ce cas un jugement ponctuel de la valeur de m (c'est à dire que nous validons par exemple H0 avec une puissance de test 1-beta et donc m=m0, ou bien on n'accepte pas H0 avec un risque de se tromper qui vaut alpha et donc m=m1).