fonction ouverte

[invite145404f0]

Je cherche un exemple simple de fonction ouverte qui ne soit pas continue, éventuellement, de R dans R, si ça existe, de R^p dans R^q sinon.
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[GuYem]

Je n'en vois pas de suite dans les espaces que tu demandes, mais vu que je sais qu'on peut construire des topos un peu comme on veut pour fabriquer les contre exemples qui nous intéressent, je te propose :

Prends E muni de la topologie où il n'y a que le vide et E qui sont ouverts
Prends F muni de la topologie où tout le monde est ouvert.

Prends une fonction f de E dans F, non constante. Alors elle est ouverte et pas continue.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Confusion : je dis n'importe quoi
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rvz

[invite35452583]

Je cherche un exemple simple de fonction ouverte qui ne soit pas continue, éventuellement, de R dans R, si ça existe, de R^p dans R^q sinon.

partie entière : R->N topologie usuelle sur R discrète sur N. (Un peu facile )
Mais on peut s'en inspirer :
f : R²->R
f(x;y)=y+partie entière (x)
discontinuité évidente.
Ouverte quand même car on peut prendre comme bases de voisinage ouvert les rectangles ouverts (c'est plus simple bien qu'équivalent)
Autour de (x,y) x non entier c'est évident
Autour de (x,y) x non entier un ouvert IxJ est envoyé sur J+x-1 U J+x qui est ouvert.
De R^n dans R^m, on prend la même et si le coeur en dit on complique, on contorsionne...

f : R->R
f(x)=x pour x<=0
f(x)=sin(1/x)/x pour x>0
En effet :
Soit un ouvert U de R,
U1= union des composantes connexes contenues dans {x<0},
U2 = composante connexe contenant 0
U3= union des composantes connexes contenues dans {x<0}
f est continue sur {x<0} donc th. de l'application ouverte f(U1) est ouverte (en chaque point un petit compact contenant un petit ouvert...) donc f(U1) ouvert.
De même f(U3) ouvert.
U2 est soit vide et dans ce cas f(U2) est vide et donc ouvert.
Ou alors U2 contient un ]0, e[ avec e>0 et f(U2) contient f(]0,e[) qui n'est autre que R tout entier donc ouvert.
f(U)=f(U1) U f(U2) U f(U3) est donc ouvert et f est donc une application ouverte mais discontinue en 0.
On peut prendre sin(1/x)*(1-x) mais la preuve est un plus longue à écrire et s'en inspirer pour faire de plus en plus "diabolique" et en construire en dimension supérieure de R^n dans R^n.

De R^n dans R^m avec n<m, c'est moins facile déjà en faire une ouverte.

[A voir en vidéo sur Futura]