[Distributions] Démo du lemme de Sommerfeld

[Gwyddon]

Salut à tous

Dans mon cours de physique statistique quantique, on a besoin du développement suivant, et j'aimerais bien avoir sa démonstration histoire qu'il ne tombe pas du ciel :

Où est la distribution dérivée de celle de Dirac, la distribution d'Heavyside.

Alors je prends la définition d'une distribution (forme linéaire sur l'ensemble des fonctions continues localement compactes), et je regarde



Pour voir si ça vaut bien . Mais j'avoue bloquer

Quelqu'un aurait-il une idée, un début de piste ?

Quoi qu'il arrive, je vous remercie d'avoir déjà eu le courage de me lire jusqu'au bout
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[martini_bird]

Salut,

c'est , les sont reliés aux nombres de Bernoulli et .

Avec tout ça on doit pouvoir s'en sortir...

Cordialement.

EDIT : prends a=0, tu n'auras que le remettre dans la formule à la fin.

[Gwyddon]

Ah oui tiens, bien vu

Bon je vais m'y mettre, mais ce n'est pas évident évident comme résultat

EDIT : je remarque que pour Bernouilli, il y a un signe -, or dans ma formule c'est + . Ça ne pose pas de problèmes ?

[martini_bird]

EDIT : je remarque que pour Bernouilli, il y a un signe -, or dans ma formule c'est + . Ça ne pose pas de problèmes ?

Oui je sais, mais en bidouillant, on doit arriver à exprimer avec les B_n.

Passe éventuellement par la trigo : tandis que , (modulo les erreurs de calcul).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut

Pour ma part, je te conseille de développer en série entière et de regarder ce qui se passe sur les x^n phi(x). Via des ipp, ils devraient y avoir quelques trucs sympas qui arrivent.

__
rvz

[Gwyddon]

Merci à tous les deux,

Je n'ai pas encore appliqué vos bons conseils (faute de temps !), mais une question surgit suite à une "démonstration" de ce lemme en cours : n'est-il pas vrai que pour une classe de fonctions test particulières, donc seulement sur une partie des fonctions à support compact ?

[invite6b1e2c2e]

Salut,

En général les distributions ne "tapent" que contre des fonctions régulières à support compact (noté D(R), ce qui n'est pas un hasard) ou au mieux sur des fonctions régulières à décroissance rapide (i.e. dont les dérivées sont négligeable devant n'importe quelle décroissance polynomiale, on parle de la classe de Schwarz, cf son bouquin théorie des distributions).

__
rvz

[GrisBleu]

sur une partie des fonctions à support compact ?

Salut

Les distributions sont effectivement definies sur D (cf rvz) ou S (les fonctions a decroissance rapide). Sur D cela permet de deriver sans probleme. Sur S ca permet de faire des transformee de Foureir sans probleme

++

[invite455504f8]

Salut à tous

Dans mon cours de physique statistique quantique, on a besoin du développement suivant, et j'aimerais bien avoir sa démonstration histoire qu'il ne tombe pas du ciel :

Où est la distribution dérivée de celle de Dirac, la distribution d'Heavyside.

Alors je prends la définition d'une distribution (forme linéaire sur l'ensemble des fonctions continues localement compactes), et je regarde



Pour voir si ça vaut bien . Mais j'avoue bloquer

Quelqu'un aurait-il une idée, un début de piste ?

Quoi qu'il arrive, je vous remercie d'avoir déjà eu le courage de me lire jusqu'au bout

Bonjour,
il y a qqchose de bizarre: 1/(1+exp(x)) c'est une fonction on ne peut plus régulière (méromorphe si on l'étend au plan complexe), comment ça peut être égal à une distribution d'ordre 1?

[Gwyddon]

Salut

Les distributions sont effectivement definies sur D (cf rvz) ou S (les fonctions a decroissance rapide). Sur D cela permet de deriver sans probleme. Sur S ca permet de faire des transformee de Foureir sans probleme

++

Je suis d'accord bien sûr ( ), mais ma question est : le lemme de Sommerfeld n'est-il pas vrai que sur une partie de D ? On l'utilise en physique pour les développements à basse température, et je commence à douter sérieusement de sa validité sur tout D...


Sinon feldid regarde un cours de physique stat quantique, lors des calculs sur les fermions et tu verras

[invite455504f8]

Je suis d'accord bien sûr ( ), mais ma question est : le lemme de Sommerfeld n'est-il pas vrai que sur une partie de D ? On l'utilise en physique pour les développements à basse température, et je commence à douter sérieusement de sa validité sur tout D...


Sinon feldid regarde un cours de physique stat quantique, lors des calculs sur les fermions et tu verras

je pense qu'il manque 2 hypothèses:
i) a doit être grand (donc on ne peut pas prendre 0)
ii) la fonction test est analytique (C^{\+infty} ça ne marche pas: prendre par exemple une fonction constante régularisée)

avecc ces hypothèses j'arrive à ton lemme à condition de savoir calculer ce qui doit se trouver dans Abramowitz
Donc après quelques manips et changements de variables on arrive à:

si y est grand on néglige la dernière intégrale.
celle du milieu s'évalue en développant en série entière:

[invite455504f8]

Je suis d'accord bien sûr ( ), mais ma question est : le lemme de Sommerfeld n'est-il pas vrai que sur une partie de D ? On l'utilise en physique pour les développements à basse température, et je commence à douter sérieusement de sa validité sur tout D...


Sinon feldid regarde un cours de physique stat quantique, lors des calculs sur les fermions et tu verras

la réponse à mon interrogation c'est l'analyticité de la fonction test, parce qu'alors si on a un opérateur intégral à noyau très régulier on a:

où
et on peut écrire (en poussant un peu... ):

mais cet objet appartient au dual des fonctions analytiques seulement, pas à D! et pas nécessairement à S, par exemple est analytique mais pas dans D ni S.

[Gwyddon]

Merci beaucoup, ça répond exactement à mes interrogations (et à les tiennes en passant), et effectivement a est très grand (puisque en pratique, et je cherche des développements basses températures)

Merci à tous