Bille à l'intérieur d'une gouttière

[brunop]

Bonjour,
Voici l'ennoncé :
Une bille de masse m glisse sans frottement à l'intérieur d'une gouttière située dans un plan vertical qui se termine par un cercle de centre O et de rayon R.

1 - Quelle est la valeur minimum de la hauteur à laquelle il faut lacher la bille sans vitesse initiale pour quelle arrive au point culminant du cercle sans quitter la gouttière ?
Voici ce que donne le corrigé :
Puisque le mouvement s'effectue sans frottement, l'énergie mécanique du système terre-bille est constante et :
EmA = EmB = EmD (A point de départ, B bas du cercle, D haut de cercle).
Par suite :
mgh = 1/2(mvB^2) = 1/2(mvD^2) + mg2R.

Au point D la bille subit 2 forces (son poids et la réaction de la gouttière) et donc en appliquant le principe fondamental de la dynamique, on peut écrire :

m(vD^2/R) = norme(R) + mg (R est un vecteur)
A partir de la je ne suis plus d'accord. en effet, il est dit dans le corrigé : Pour que la bille reste sur la gouttière, il faut que norme(R) > 0 (ce qui est une évidence) . donc que vD^2 > gr.
En fait, je pense qu'il écrire que norme(R) > mg et donc norme(R) - mg >0 et donc m(vD^2/R) -mg -mg > 0 donc vd^2 > 2gR.
Ais-je raison ?
Merci,
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[inviteab49ef78]

Désolé mais je crois que ton corrigé est exact. En effet la condition de contact entre ton système et la goutière est bien que R > 0.
On a alors Vd² > Rg

[deep_turtle]

Je confirme la réponse de Keirato. Physiquement, la bille décolle quand elle arrête de "sentir" le contact avec la gouttière, c'est-à-dire quand la force exercée par la gouttière sur la bille devient nulle, re-c'est-à-dire quand R s'annule...
Pour compléter un peu, quand la bille est posée, au repos, au fond d'un goutière, on a R=mg, la réaction compense exactement le poids.
Quand elle est en mouvement sur une surface concave, par exemple au fond d'un gouttière en U, au poids s'ajoute la force centrifuge qui pousse davantage sur la gouttière, ou dit autrement R>mg.
Quand elle est en mouvement sur une surface convexe (une bosse), elle a tendance à décoller et R<mg. Elle décolle effectivement quand R s'annule.

[brunop]

Je pense avoir compris. Ceci dit, quelque chose m'échappe encore. En effet lorsque la bille est en haut du cercle elle subit 2 forces opposées, à savoir le poids et la force execée par la goutière. Il me semble que numériquement, si la force exercée par la goutière est plus forte alors la billetombe.
Question
Si je prends 2 vecteurs V1 V2 ci dessous : V2 < V1
<------- V1 ----> V2

V1 + V2 : <--------- V1
----> V2
<--- V1 + V2

V1 - V2 : <--------- V1
<---- -V2
<-------------- V1 - V2

Si mes connaissances "vectorielles" sont exactes, alors P + R avec R < P et P et R opposés implique que le vecteur resultant sera dirigé vers le bas et la bille devrait tomber. (P pour le poids et R pour la force exercée par la goutière).
Merci,

[A voir en vidéo sur Futura]

[deep_turtle]

Hé hé... Tu oublies juste quelque chose, à savoir que la bille à de l'élan... C'est dans une situation statique que l'équilibre des forces conduit à l'équilibre des corps !
Pour un exemple très flagrant de cela, si tu calcules la résultante des forces agissant sur un satellite en orbite circulaire autour de la Terre, tu trouves 0, et pourtant le satellite tourne !
Dans le cas qui nous intéresse ici, la bille peut ne pas "tomber" (dans le sens où sa trajectoire n'est pas dirigée vers le bas) même si elle n'est soumise qu'à la pesanteur. Ceci ne devrait pas te surprendre : quand tu lances une pierre en l'air, elle monte alors que juste après le lancer elle n'est aussi soumise qu'à son poids mg...

[inviteab49ef78]

de plus dans le cas de la bille prise au sommet du cercle, vect(P) et vect(R) sont dans le même sens. La goutière pousse la bille de manière vers l'extérieur de la goutière.

[brunop]

Donc le fait que la bille soit en mouvement implique qu'il existe une autre force que vect(P) et vect(R) qui correspond à la force centrifuge, et qui est dirigé dans le sens opposé à P ?
Merci,

[inviteab49ef78]

Le terme couramment employé de "force centrifuge" est assez maladroit en fait. Dans un référentiel galiléen (ce qui est le cas ici), on peut dénombrer les forces qui s'exercent sur un système de la manière suivante: 1 champ = 1 force
1 contact = 1 force
Il y a donc uniquement deux forces qui s'exercent sur la bille dans la goutière (en tout point de la trajectoire). Ce que tu appelles "force centrifuge" est en fait l'inertie de la bille. Comme elle n'est pas soumise à des forces qui se compensent, la bille n'a pas un mouvement rectiligne uniforme. On l'inertie est justement une propriété de tout corps ayant une masse à changer de direction. D'où cette sensation que quelquchose "tire" la bille vers l'extérieur. Ce n'est pas une force supplémentaire. Pour s'en convaincre supprimons mentalement la goutière au moment où la bille passe par D. Alors celle ci, soumise à son poids à une courbure plus grande. Si on est en plus en apesanteur, P est nul a son tour et la bille persévère en un mouvement rectiligne uniforme. D'après le principe d'inertie la somme des forces qui s'exrcent sur la bille est nulle.

Rg: Le terme force centrifuge prend plus de signification dans un référentiel non galiléen où, suivant les cas, on peut l'attribuer à une force d'entraînement.

[brunop]

Je reviens à la charge. En fait le fait que R ne soit pas nul implique le mouvement circulaire de la bille. Dans le cas contraire le bille ne serait soumise qu'à son poids et ce serait la chutte.
En fait mon probléme de compréhension vient du fait que la solution mathématique "vectorielle" n'est pas évidente. En effet, si je représentais mes vecteurs j'aurais :

Vect(V^2/R) dirigé vers le haut , vect(P) et vect(R) dirigé vers le bas. Et donc dire que la bille tombe consiste à dire que Vect(V^2/R) > vect(P) + vect(R) or la nous disons que vect(R) > 0 et donc que Vect(V^2/R) > vect(P) .
Où est l'erreur ?
Merci,
Remarque : je trouve le forum d'excelente qualité à tous les niveaux (cordialité, rapidité, niveau des réponses ...).

[deep_turtle]

Attention... Le mouvement de la bille est certes circulaire, mais la vitesse angulaire n'est pas constante, donc déjà l'accélération ne se limite pas à V^2/R.

Ensuite, pourquoi écris-tu "dire que la bille tombe consiste à dire que Vect(V^2/R) > vect(P) + vect(R) " ? Ce n'est pas ça, "tomber"... Tomber, ici, c'est précisément "se décoller de la gouttière", et donc R=0...
L'accélération est toujours égale à la somme des forces, donc ton équation Vect(V^2/R) > vect(P) + vect(R) est douteuse dès le départ.

Ca éclaircit ou assombrit la situation ??

[brunop]

"Attention... Le mouvement de la bille est certes circulaire, mais la vitesse angulaire n'est pas constante, donc déjà l'accélération ne se limite pas à V^2/R" oui absoluement. On a V^2/R en bas et en haut la gouttière.
"L'accélération est toujours égale à la somme des forces, donc ton équation Vect(V^2/R) > vect(P) + vect(R) est douteuse dès le départ." oui effectivement.
En fait, j'ai dessiné les vecteurs en B et j'obtiens :

/\
'
'
' vect(v^2/r)
'
B
'
'
' vect(P) + vect(R)
'
'
'
\/

Et la je me dit que si algébriquement vect(v^2/r) < vect(P) + vect(R) alors la bille tombe car la "force" qui la pousse vers le haut est plus faible que celle qui la pousse vers le haut. Mon raisonnement est peut-être trop mathématique.
Ceci dit, je comprends le fait que sans R, la bille n'est plus soumise qu'à son propre poids, c'est la thérie qui me géne un peu plus (c'est la déformation des maths).
Suis-je à peu prés clair ?

[deep_turtle]

Et la je me dit que si algébriquement vect(v^2/r) < vect(P) + vect(R) alors la bille tombe car la "force" qui la pousse vers le haut est plus faible que celle qui la pousse vers le haut. Mon raisonnement est peut-être trop mathématique.

L'erreur de raisonnement vient exactement de là, tu assimiles vect(v^2/r) à une force, et tu la rajoutes à R et P (c'est peut-être de ma faute d'ailleurs, j'ai parlé dans un message précédent de force centrifuge, ce qui n'était pas rigoureux du tout, car on se place ici dans un référentiel galiléen, pas dans le référentiel lié à la bille...). Les seules forces que ressent la bille dans le référentiel du laboratoire sont P et R.

[brunop]

Donc si la bille est soumise en B à deux forces ayant deux directions identiques dirigées vers la bas, comment peut-elle ne pas tomber ?

[le géant vert]

Elle ne tombe pas justement parce qu'elle est en mouvement.C'est un peu comme la lune. Elle n'est soumise qu'une force centrale. Pourtant elle ne s'écrase pas sur la Terre... c'est justement parce qu'elle avance très vite. Son inertie la "pousse" loin de la Terre.

Cet effet peut s'exprimer sous forme d'une "force centrifuge" mais dans ces cas la il faut faire une petite maneuvre d'esprit.
Si on imagine que l'on bloque la lune sur un point de sa trajectoire (ou que l'on cosidère le mouvement de la Lune depuis à travers les yeux d'un observateur fixe sur la Lune) Cette opération revient à changer de référentiel et a considéré un référentiel centré sur la lune. D'après le principe d'inertie, les forces qui s'exercent sur la Lune doivent se compenser car la lune apparait maintenant immobile. Or ce n'est pas le cas. Ce référentiel n'est donc pas galiléen, et pour que le principe d'inertie soit vérifié, il faut introduire une nouvelle force appelée force d'entraiment qui vient compenser la force de gravitation. C'est là une manifestation de l'inertie
Dans un référentiel galiléen, pas besoin de se poser ce genre de question .
je ne sais pas si j'ai été très clair là.....

[brunop]

Ca commence à devenir de plus plus clair grace à vos participations. Pour aller plus loin j'ai fait un tour du côté de Larousse et voici ce qu'il me dit :
"Force d'inertie : force apparente qui se manifeste dans un repére non galiléen". C'est donc cette force qui viendrait compenser la seule force centrale exercée sur la bille en se positionnant dans le repère de la bille. Et dans ce cas effectivement il faudrait que cette force soit supèrieure à P autrement dit que v^2 > mg et par implication que R > 0 sachant que R = v^2 - mg. (l'implication fonctionne d'ailleurs dans les deux sens).
Est-ce que je brule ?
Merci,