Champ potentiel électrique

brunop · 02/08/2004 - 12h13

Bonjour,
Voici le cours :
Une sphère de centre O et de rayon R porte une charge électrique Q uniformément répartie entre les sphères de rayon R - epsilon et R avec la densité volumique rho. On a :
rho = Q / (4.pi.R².epsillon). (1)
J'aurais besoin d'une confirmation concernat (1). En effet, cela aurait clair si l'on parlait d'un volume compris entre R et R + epsilon.
Voici mon raisonnement :
V = 4.pi.(R-epsilon)².espilon = 4.pi.(R² - 2R.epslion + epsilon²).epsilon.
Par suite
rho = Q / 4.pi.(R² - 2R.epslion + epsilon²).epsilon
Faut-il passer par le DL de (R² - 2R.epslion + epsilon²) qui nous donnerait :
R² - 2R.epslion + epsilon² = R²(1 - epsilon/R)². et donc par le DL
rho = Q.(1-2.espsilon/R) / (4.pi.R².epsillon) = Q / (4.pi.R².epsillon).
si epsilon est petit devant R
Merci pour l'aide .

Jo · 02/08/2004 - 13h39

En effet, il me semble que negliger epsilon² et epsilon/R soit judicieux. Donc ton resultat semble bon.

Heimdall · 02/08/2004 - 17h58

salut,

ça marche aussi en faisant la différence du volume des sphères de rayon R et (R - $\epsilon$ )

brunop · 03/08/2004 - 08h10

Envoyé par Heimdall

salut,

ça marche aussi en faisant la différence du volume des sphères de rayon R et (R - $\epsilon$ )

En faisant la différence du volume des 2 sphères, j'obtiens :
4/3.pi.R^3 - 4/3.pi(R-epslilon)^3 .
Ce qui donne aprés calcul :
4/3.epsilon.pi(3.R² -3epsilon.R + epsilon²).
La simplification ne me semble pas évidente dans ce cas ?

Heimdall · 03/08/2004 - 12h22

$V \ = \ \frac{4 \pi}{3} R^3 \ - \ \frac{4 \pi}{3} (R - \epsilon)^3$

$= \ \frac{4 \pi}{3} $3R^2 \epsilon \ + \ 3R \epsilon^2 \ - \ \epsilon^3 $$

$= \ 4 \pi R \epsilon $ R+\epsilon $ \ - \ \frac{4 \pi}{3} \epsilon^3$

$or \ \epsilon \ll R \ donc$

$= 4 \pi \epsilon $R^2 - \frac{1}{3} \epsilon^2 $$

$= \ 4 \pi \epsilon $R + \frac{1}{\sqrt{3}} \epsilon$ $R - \frac{1}{ \sqrt{3}} \epsilon $$

$= 4 \pi \epsilon R^2$ avec la même simplification de R devant $\epsilon$

deep_turtle · 03/08/2004 - 12h43

Juste pour rigoler et manipuler un peu les DL, on peut aussi écrire

$V = \frac{4\pi}{3} R^3 - \frac{4\pi}{3} (R-\epsilon)^3$

$V = \frac{4\pi}{3} R^3 - \frac{4\pi}{3} R^3 (1-\frac{\epsilon}{R})^3$

soit en développant $(1-x)^3 \rightarrow 1-3x+O(x^2)$ ,

$V = \frac{4\pi}{3} R^3 - \frac{4\pi}{3} R^3 + \frac{4\pi}{3} R^3 \times 3\frac{\epsilon}{R} = 4\pi \epsilon R^2$

OK Heimdall ça n'apporte pas grand-chose par rapport à ton calcul...

Heimdall · 03/08/2004 - 12h53

ok la conclusion est que le résultat est juste

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