bille sur une sphère

[invite7f0982e1]

Bonjour, j'ai un exercice qui me pose quelques difficultées, alors s'il y en a qui ont une idée...

Il s'agit d'une bille (masse M) déposée dans un bol sphérique (rayon R) tournant à vitesse angulaire constante (w=2*pi/T) (autour de l'axe passant par le centre et le fond du bol).
La bille trouve un équilibre en tournant avec la meme vitesse et à une distance r < R de l'axe.

*Calcul des forces exercées par le bol sur la bille:
j'ai écrit le PFD (référentiel non galiléen du bol), je trouve en module F²=(Mrw^2)^2 + (Mg)^2

*Calcul de r (en fonction de T):
On connait la direction de la force qui doit passer par le centre (pas de frottements), donc le sinus de son écart avec la verticale est r/R. Or on a une expression de la force avec la question précédente, donc une autre expression du sinus. Ca me donne une equation du second degré à résoudre.

*Quelle est la période maximum T pour que le phénomène se produise?
Je bloque.
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[invitefa5fd80c]

*Calcul des forces exercées par le bol sur la bille:
j'ai écrit le PFD (référentiel non galiléen du bol), je trouve en module F²=(Mrw^2)^2 + (Mg)^2

N'as-tu pas oublié la force de réaction entre la surface du bol et la bille ?
La procédure habituelle est d'écrire le bilan des forces dans trois directions orthogonales. Ici dans la direction de la vitesse de la bille la force est nulle, il te reste deux axes.

*Calcul de r (en fonction de T):
On connait la direction de la force qui doit passer par le centre (pas de frottements), donc le sinus de son écart avec la verticale est r/R. Or on a une expression de la force avec la question précédente, donc une autre expression du sinus. Ca me donne une equation du second degré à résoudre.

Si tu écris le bilan des forces dans les diverses directions, tu n'auras pas d'équations différentielles à résoudre.

*Quelle est la période maximum T pour que le phénomène se produise?
Je bloque.

C'est une question de direction des forces: si la bille est dans la portion supérieure du bol, rien ne pourra l'empêcher de tomber.

[invite7f0982e1]

N'as-tu pas oublié la force de réaction entre la surface du bol et la bille ?
La procédure habituelle est d'écrire le bilan des forces dans trois directions orthogonales. Ici dans la direction de la vitesse de la bille la force est nulle, il te reste deux axes.


Si tu écris le bilan des forces dans les diverses directions, tu n'auras pas d'équations différentielles à résoudre.


C'est une question de direction des forces: si la bille est dans la portion supérieure du bol, rien ne pourra l'empêcher de tomber.

*F que j'ai calculé (c'est ce qui est demandé) est précisément la force de réaction.

*Oui, je n'ai qu'une equation du second degré.

*Certes. Mais la bille n'ira pas jusque là lorsque T est grand.

[invitefa5fd80c]

*F que j'ai calculé (c'est ce qui est demandé) est précisément la force de réaction.

Oups ! désolé, j'avais lu trop vite.
Cependant, en ne calculant que la grandeur de la force tu n'as qu'une seule équation. En écrivant les composantes dans la direction verticale et dans la direction radiale (de la particule vers l'axe de rotation), tu auras deux équations ce qui te permettra d'éliminer F.

*Oui, je n'ai qu'une equation du second degré.

Pour répondre aux deux questions qui te sont posées, tu n'as pas d'équation différentielle à résoudre: dans le référentiel du bol au repos, la bille est elle-même au repos.

*Certes. Mais la bille n'ira pas jusque là lorsque T est grand.

Justement: ceci impose une condition sur la hauteur maximale de la bille ce qui se traduit par une valeur maximale de T.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7f0982e1]

J'ai effectivement écrit que r/R devait etre plus petit que un mais ça ne donne rien...

[invitefa5fd80c]

J'ai effectivement écrit que r/R devait etre plus petit que un mais ça ne donne rien...

Le ratio r/R ne permet pas de déterminer la hauteur de la bille.

Désignons par P la position de la bille et par C le centre du bol sphérique. Considère l'angle entre le segment de droite PC et la direction horizontale (ce serait plus facile avec un dessin): l'angle vaut 90 degrés lorsque la bille est au fond du bol, 0 degré lorsque la bille est à la même hauteur que C et est négatif lorsque la bille est à une position plus haute que C.

Étant donné que la bille est au repos dans le référentiel du bol, la force totale y est nulle et on a:

dans la direction verticale
dans la direction axiale

où T est la force de réaction entre la surface du bol et la bille.

Les côtés gauches des deux équations doivent évidemment être du même signe que les côtés droits, ce qui impose une condition à

Ça devrait t'aider à faire un bout de chemin

[invite7f0982e1]

Merci pour ton temps.
On s'est mal compris sur ce point cependant: je désignais ici T par la période de rotation du bol (w=2 pi / T).

[invitefa5fd80c]

Merci pour ton temps.
On s'est mal compris sur ce point cependant: je désignais ici T par la période de rotation du bol (w=2 pi / T).

Remplace le T par F dans les équations que j'ai écrites ci-haut.