Fonction delta de Dirac

[neutrino éléctronique]

Salut à tous,
dans mon bouquin on me parle de fonction de Dirac, et on me dit d'aller voir l'appendice, mais ce dernier est situé dans le deuxième tome... que je n'ai pas acheté! Résultat, je ne sais toujours pas ce que c'est, malgrès une recherche sur wikipédia (car j'ai rouvé l'article un peu illisible...)
Merci d'avance pour votre aide éclairée

[Coincoin]

Salut,
La fonction delta est une fonction bizarre mais bien pratique. Il faut imaginer une fonction quelconque ayant une aire de 1. Maintenant, tu réduis la largeur de moitié et tu multiplies la hauteur par 2. L'aire vaut toujours 1. Tu recommences. A la fin (enfin, à l'infini), tu as une fonction qui est nulle partout, sauf en 0 où elle vaut l'infini, et dont l'aire vaut 1. Une fonction infiniment piquée !
Tu as alors des propriétés intéressantes : Intégrer avec la fonction delta sélectionne la valeur en 0.

Les matheux te diront qu'on ne peut pas raisonner ainsi, que la fonction n'est pas définie, mais ils peuvent formaliser tout ça dans le cadre de la théorie des distributions.

[neutrino éléctronique]

Oua c'est génial comme fonction! Et est ce que cette fonction peut s'exprimer , je veux dire est ce que l'on peut écrire ? (Si oui, = quoi?)

[Coincoin]

Non.
La définition mathématique repose sur la théorie des distributions et sur l'égalité que j'ai mise dans mon message précédent. On peut la voir comme une limite d'une suite de fonctions (la façon dont je te l'ai présenté). On peut l'écrire sous la forme d'une intégrale (notamment en utilisant la transformée de Fourier). Mais on ne peut pas l'exprimer simplement à partir de fonctions connues.

[neutrino éléctronique]

Non.
La définition mathématique repose sur la théorie des distributions et sur l'égalité que j'ai mise dans mon message précédent. On peut la voir comme une limite d'une suite de fonctions (la façon dont je te l'ai présenté). On peut l'écrire sous la forme d'une intégrale (notamment en utilisant la transformée de Fourier). Mais on ne peut pas l'exprimer simplement à partir de fonctions connues.

OK. Pourrais-tu me montrer comment elle s'écrit sous forme d'une intégrale STP?

[Ilùvatar]

Salut,



car dans la théorie des distributions c'est la transformée de Fourier de la fonction constante égale à 1.

Bonne soirée

Nico

[neutrino éléctronique]

OK, un grand merci à vous deux!

[Herr_Moncef]

Oua c'est génial comme fonction! Et est ce que cette fonction peut s'exprimer , je veux dire est ce que l'on peut écrire ? (Si oui, = quoi?)

c'est possible ( je ne sais pas comment utiliser le symbole mathématiques ) et voici comment :
1)delta = 0 si t différent de 0
sinon delta = infini si t= 0
autres manière :
2)delta(t-kT) = infini si t= kT
delta(t-kT) = 0 si t différent de kT
voilà
sinon en systèmes automatiques cette fonction est utilisée pour nous renseigner sur la réponse transitoire car la réponse impulsionelle (entrée de dirac) est égale à la dérivée de la réponse indicielle( entrée échelon) par rapport au temps ( si je ne me trompe pas , à vérifier )

[Ilùvatar]

Oui enfin ça c'est pas vraiment une définition précise parce que l'infini en 0 doit être bien calibré : il doit être juste assez gros pour que l'intégrale fasse 1 (...)

En gros, delta c'est un pic, un pulse, un n'importe quoi qui représente une excitation ponctuelle et de référence (ça fixe l'unité en qque sorte) d'un système.

[Seirios]

Bonjour,

Je viens de lire que à condition que , sinon .

Sinon une petite question en passant, dans quel contexte physique peut-on se servir de la fonction delta de Dirac ? (je pensais à la fonction d'onde)

[neutrino éléctronique]

Bonjour,

Je viens de lire que à condition que , sinon .

Sinon une petite question en passant, dans quel contexte physique peut-on se servir de la fonction delta de Dirac ? (je pensais à la fonction d'onde)

Salut,
dans mon cas c'était effectivement avec la fonction d'onde:
C'était un cas particulier d'onde plane avec g(k) qui est une fonction delta de Dirac.
J'imagine que cette fonction doit avoir d'autres utilisations!

[Ledescat]

Les impulsions jouent un rôle primordial en électronique...
Et on essaye de s'approcher le mieux d'une durée nulle, d'où l'utilisation de en élec.

[alovesupreme]

Bonjour,

Sinon une petite question en passant, dans quel contexte physique peut-on se servir de la fonction delta de Dirac ? (je pensais à la fonction d'onde)

La fonction delta est utilisée en MQ dès que l’on veut faire des calculs.

La propriété
Intervient par exemple dans les calculs des diagrammes de Feynman

.
Ainsi si l’on considère l’amplitude l’ordre 2 de l’effet Compton, avec un électron (impulsion p en entrée et p’ en sortie) , un photon (impulsion k en entrée, k’ en sortie) et un électron virtuel d’impulsion p1 (entre les instants t et t’) on voit intervenir dans le calcul


on utilise la propriété

on utilise donc dans le calcul

On a ainsi vu disparaître l’intégrale sur les 4impulsions de l’électron virtuel ce qui a pour effet grace à la propriété fondamentale de la fonction de Dirac de remplacer p1 partout ou il intervenait par p+ k ce qui assure la conservation de l’énergie impulsion.

NB: on peut utiliser des produits de fonctions de dirac uniquement pour des variables d'intégrations indépendantes.

[Coincoin]

La fonction delta est importante partout où on utilise (explicitement ou non) la transformée de Fourier, donc dès qu'on raisonne dans le domaine des fréquences.

[Seirios]

Merci pour toutes ces réponses