Champ d’un trou noir

**mbochud** · 01/07/2007, 16h52

Bonjour,

Un objet qui gravite dans un champ en 1/r² a une trajectoire elliptique dont le grand axe a une direction fixe dans l’espace. Une grande masse cause un ralentissement du temps qui a comme conséquence connue une précession du grand axe, par exemple la précession de la trajectoire de Mercure autour du Soleil. J’ai voulu reproduire par calcul numérique cette précession. J’ai donc créé un champ en 1/r², mais au lieu d’être r à la puissance 2, j’ai fait 1/r à la puissance x. Par exemple 1/r à la puissance 2,01. Je place dans ce champ un satellite dont l’énergie totale est négative, définissant l’énergie totale comme étant l’énergie cinétique plus l’énergie potentielle, et l’énergie potentielle étant définie comme nulle à l’infini. Évidemment, il faut mettre un objet qui est lié dans le champ.

Alors, effectivement, les résultats sont intéressants. J’obtiens une précession qui correspond tout à fait aux précessions dues au ralentissement du temps près du soleil.Cette très légère précession augmente d’ailleurs avec la valeur de x.

Ensuite, j’ai voulu augmenter la valeur de x; j’ai voulu regarder ce que serait l’effet d’un champ en 1/r à la puissance 2,5 , 2,8… J’ai augmenté progressivement la valeur de x. Alors à 2,9 les parois du puits de potentiel deviennent si raides que l’objet (le satellite) tombe dans le puits de potentiel; il va faire 2,3,4, 5 ou 6 tours, mais finalement il finit par remonter. Il prend de la vitesse en descendant, il transforme son énergie potentielle en énergie cinétique, mais finit par remonter. À 2,999, il tombe, il fait un grand nombre de tours; il faut être patient, mais il va finir par remonter encore. À la valeur exacte de 3, 000, le puits de potentiel devient si raide que le satellite n’en sort plus; il tombe continuellement: c’est un peu comme l’effet trou noir, et ce, donc, à une valeur de 3 ou plus.

Ce qui me frappe, c’est la valeur entière de x.
J’ouvre ici une toute petite parenthèse au niveau du calcul. Il faut prendre des précautions de précision dans le calcul numérique parce que ce calcul est refait à chaque intervalle de temps ? t . Une méthode de vérification de la précision consiste tout simplement à réduire ce ? t , disons d’un facteur 10 pour voir si ça change le résultat. Au fur et à mesure qu’on approche du trou noir, il faut donc constamment réduire ce ? t pour conserver la même précision. Alors c’est amusant de constater que plus on tombe dans pseudo « trou noir », plus ce ? t tend vers 0, ce qui curieusement correspond au gel du temps lorsqu’on tombe dans un trou noir.

Il est certain qu’a une bonne distance d’un trou noir son champ gravitationnel est bien 1/r² et non 1/r³ .La simulation numérique était obtenue pour un champ en 1/r³.
Cela laisserait voir un champ qui passerait de 1/r² à 1/r³ en s’approchant du trou noir c’est à dire quand la vitesse de libération vlib tend vers c.
Par exemple dans une expression empirique du genre 1/r^{(2+ v_lib/c)}.

**deep_turtle** · 01/07/2007, 17h05

Salut,

Tes calculs semblent intéressants ! Juste pour lever un doute :

J’ai voulu reproduire par calcul numérique cette précession

Tu peux reproduire la valeur de la précession, mais tu ne modélises pas du tout les effets relativistes, c'est plus complexe qu'un changement de puissance de la force gravitationnelle. C'est (entre autres) par un raisonnement similaire au tien qu'on a essayé d'expliquer l'avance du périhélie de Mercure avant l'avénement de la relativité générale...

Alors c’est amusant de constater que plus on tombe dans pseudo « trou noir », plus ce ? t tend vers 0, ce qui curieusement correspond au gel du temps lorsqu’on tombe dans un trou noir.

ça semble très fortuit, et n'avoir complètement rien à voir...

**mbochud** · 01/07/2007, 17h36

Envoyé par deep_turtle

Tu peux reproduire la valeur de la précession, mais tu ne modélises pas du tout les effets relativistes, c'est plus complexe qu'un changement de puissance de la force gravitationnelle.

Tout à fait d’accord, mon but était de reproduire l’expérience de Foucault,et de vérifier si une précession (indépendante de la rotation de la terre)apparaissait en enlevant l’approximation des petits angles.

Je suis bien d’accord que la précession gravitationnelle est due au ralentissement du temps de la RG (http://forums.futura-sciences.com/post1170334-8.html) . Mais il est possible qu’en premier ordre d’approximation ça revienne en un champ en 1/ r2,000001.

Il n’y a rien de bien fondamental dans cette approche numérique qui ignore complètement la RG , mais la surprise reste ; pourquoi cette valeur rigoureuse de 3,00000?

**deep_turtle** · 01/07/2007, 18h17

Mais il est possible qu’en premier ordre d’approximation ça revienne en un champ en 1/ r2,000001.

J'ai l'impression que toute valeur de l'exposant te donnant une avance de périhélie différente, l'une d'elle donne la bonne... La valeur est proche de 2 simplement parce que l'effet relativiste est faible.

Pour le potentiel en 1/r2, il me semblait avoir un truc sous la main mais je ne le retrouve pas, je continue de chercher.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mbochud** · 01/07/2007, 21h11

Soit 1/r^x
Pour r = -1 on a le pendule simple et le grand axe de l’ellipse est fixe si on fait l’approximation des petits angles d’oscillation. (effet Puiseux si l’angle augmente).
Pour r = 2 on a la seule autre situation ou l’avance de la périhélie est nulle (pas d’effet relativiste).

NB : La forme du potentiel gravitationnel d’un trou noir est généralement donnée dans un système équivalent à une dimension qui ne permet pas la comparaison.

**deep_turtle** · 01/07/2007, 21h32

Heu... oui, mais pourquoi tu dis ça là maintenant ?

PS : je ne trouve pas mention de l'« effet Puiseux » sur google, c'est quoi ?

**mbochud** · 01/07/2007, 22h11

Au point précis de l’horizon du trou noir ,le champ décris par la RG ne correspondrait- il pas à un champ en 1/r3. (Mais l’intérêt d’une éventuelle correspondance en un point précis serait faible de toute façon !)

Victor Puiseux a montré une précession du pendule si les angles de balancement sont trop forts.

**deep_turtle** · 01/07/2007, 23h16

Au point précis de l’horizon du trou noir ,le champ décris par la RG ne correspondrait- il pas à un champ en 1/r3.

Tu as lu ça quelque part ? Je ne vois pas trop comment on peut décrire le champ de gravité comme une puissance de r dans un régime très relativiste. D'ailleurs si c'était le cas, la lumière pourrait s'échapper d'un tel potentiel, ce qui n'est justement pas le cas.

Bref, j'ai vraiment du mal à voir le lien entre ton calcul et les trous noirs.

invitefa5fd80c · 01/07/2007, 23h42

Envoyé par mbochud

À la valeur exacte de 3, 000, le puits de potentiel devient si raide que le satellite n’en sort plus; il tombe continuellement: c’est un peu comme l’effet trou noir, et ce, donc, à une valeur de 3 ou plus.

Ce qui me frappe, c’est la valeur entière de x.

Envoyé par mbochud

Il n’y a rien de bien fondamental dans cette approche numérique qui ignore complètement la RG , mais la surprise reste ; pourquoi cette valeur rigoureuse de 3,00000?

Salut,

La raison est la suivante.

Étant donné que l'on a un état lié, alors la force radiale effective doit être attractive pour les "grandes" valeurs de $\text{[math]}$ . D'autre part pour que le satellite remonte, la force radiale effective doit être répulsive pour les "petites" valeurs de $\text{[math]}$ . L'équation radiale du mouvement est:

$\text{[math]}$

où :

$\text{[math]}$ est la force radiale effective,
$\text{[math]}$ est la masse réduite,
$\text{[math]}$ est la force réelle agissant sur le satellite et
$\text{[math]}$ est le moment angulaire : $\text{[math]}$

Étant donné que la force radiale effective doit être attractive pour les "grandes" valeurs de $\text{[math]}$ et répulsive pour les "petites" valeurs de $\text{[math]}$ , alors il existe obligatoirement une valeur de $\text{[math]}$ , disons $\text{[math]}$ , pour laquelle la force radiale effective est nulle, c'est-à-dire:

$\text{[math]}$

ce qui peut s'écrire:

$\text{[math]}$

Étant donné que le mouvement radial s'inverse pour une valeur de $\text{[math]}$ suffisamment grande, disons $\text{[math]}$ , ainsi que pour pour une valeur de $\text{[math]}$ suffisamment petite, disons $\text{[math]}$ , en ces deux endroits la vitesse radiale est nulle et donc le moment angulaire en ces endroits est donnée par :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les grandeurs de la vitesse en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

De tout ceci on tire :

$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les énergies cinétiques en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

D'autre part, la force $\text{[math]}$ dérive du potentiel $\text{[math]}$ et donc :

$\text{[math]}$

Remplaçant cette valeur de $\text{[math]}$ dans l'équation ci-haut, on obtient:

$\text{[math]}$

Étant donné que l'on a un état lié, l'énergie totale $\text{[math]}$ est négative et donc :

$\text{[math]}$

ce qui donne:

$\text{[math]}$

Par conséquent:

$\text{[math]}$ et
$\text{[math]}$

On voit que le cas $\text{[math]}$ est un cas critique, car ces deux équations mènent alors à : $\text{[math]}$ , ce qui est impossible et donc il n'existe pas de valeur de $\text{[math]}$ dans ce cas. Par conséquent la force radiale effective est toujours dans la même direction, c'est-à-dire qu'elle est toujours attractive et le mouvement ne peut s'inverser.

Pour $\text{[math]}$ , on aboutit à $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . La deuxième de ces conditions est impossible à satisfaire et donc la force radiale effective est toujours négative et le mouvement ne peut s'inverser, comme dans le cas $\text{[math]}$ .

Je te laisse examiner les cas où $\text{[math]}$

**obi76** · 02/07/2007, 00h31

Alors là tu as droit à toute mon admiration, magnifique la démo

invitefa5fd80c · 02/07/2007, 00h39

Envoyé par obi76

Alors là tu as droit à toute mon admiration, magnifique la démo

Merci beaucoup

...surtout que ça a été plus de travail à rédiger que je ne le croyais au départ

**mbochud** · 02/07/2007, 16h06

Là , ça prenait Le spécialiste !
Super, merci pour l’impressionnante et magnifique démonstration. Il me semblait bien que cette valeur exacte de 3 qui correspondait au point où la pente du potentiel devient impossible à remonter devait avoir un support théorique.

Merci encore PopolAuQuébec et vive Futura-Sciences

invitefa5fd80c · 02/07/2007, 18h51

Envoyé par mbochud

Là , ça prenait Le spécialiste !
Super, merci pour l’impressionnante et magnifique démonstration. Il me semblait bien que cette valeur exacte de 3 qui correspondait au point où la pente du potentiel devient impossible à remonter devait avoir un support théorique.

Merci encore PopolAuQuébec et vive Futura-Sciences

Merci !

**deep_turtle** · 02/07/2007, 22h07

Salut,

Je suis surement un peu lent ces temps-ci, mais je ne comprends pas ce que tu as démontré. Si je repars de la première équation que tu as écrite, en posant F(r) = -1/rⁿ, je peux tracer le potentiel effectif pour différentes valeurs de n, et je vois effectivement une transition en n= 3 : on passe d'un potentiel V(r) présentant un minimum (pour n<3) à un potentiel présentant un maximum (pour n>3).

Mais ça ne veut pas dire que les corps ne s'éloignent jamais du centre. Dans le premier cas, les corps d'énergie négative (les états liés) oscillent autour du minimum (c'est les trajectoires elliptiques ou pseudo-elliptiques). Dans le second les états liés oscillent autour du centre de force en le traversant. L'accélération est certes toujours dirigée vers le centre, mais pas le mouvement (exactement comme pour l'oscillateur harmonique, par exemple).

J'ai loupé quelque chose ??

Pour mbochub, j'ai l'impresion que le pb numérique que tu mentionnes dans le premier message vient de là : en traversant le centre la force devient infinie et ça te pose des problèmes numériques si tu résouds le mouvement par pas finis.

invitefa5fd80c · 02/07/2007, 23h06

Envoyé par deep_turtle

Je suis surement un peu lent ces temps-ci,...

...mais tu as vu juste

C'est comme dans la fable du lièvre et de la tortue

Envoyé par deep_turtle

Dans le second les états liés oscillent autour du centre de force en le traversant. L'accélération est certes toujours dirigée vers le centre, mais pas le mouvement (exactement comme pour l'oscillateur harmonique, par exemple).

J'ai loupé quelque chose ??

Non tu as tout a fait raison. Contrairement aux cas où $\text{[math]}$ , le potentiel est décroissant jusqu'à l'origine. Donc le satellite doit obligatoirement passer par l'origine et "rebondir".

Par contre ceci génère quelque chose de problématique dans l'analyse du mouvement si on considère les cas où le moment angulaire est non-nul. La force étant centrale, le moment angulaire est conservé, c'est-à-dire $\text{[math]}$
Je ne vois pas comment analyser le mouvement au-delà du moment où $\text{[math]}$ devient nul. Tu as une idée ?

A+, Oeil de lynx !

invitefa5fd80c · 07/07/2007, 06h12

Envoyé par PopolAuQuébec

Donc le satellite doit obligatoirement passer par l'origine et "rebondir".

En fait, je n'en suis plus si sûr. Le satellite doit nécessairement se rendre à l'origine. Par contre je ne vois pas ce qui pourrait le faire "rebondir". En effet, lorsque le satellite arrive en r=0, sa vitesse est négative, la force est infinie et négative. Qu'est-ce qui le repoussera de l'origine ? Quelqu'un a une idée ?

**mbochud** · 07/07/2007, 16h21

Envoyé par deep_turtle

Pour mbochub, j'ai l'impresion que le pb numérique que tu mentionnes dans le premier message vient de là : en traversant le centre la force devient infinie et ça te pose des problèmes numériques si tu résouds le mouvement par pas finis.

Au fur et à mesure qu’on s’approche du centre il faut continuellement faire décroître le \Delta t et , en plus, faire la vérification qu’un delta t plus petit à ce point ne change pas significativement le résultat.
« en traversant le centre la force. » Le centre n’est ainsi jamais traversé ; on ne fait que de s’en approcher (dans le genre spirale).

Il est peut-être bon de regarder la base du calcul numérique qui ne se compose que de 2 équations (sous forme vectorielle).
v = v₀ + F/m * $\text{[math]}$ t
x = x₀ + v * $\text{[math]}$ t

et de 2 équations supplémentaires (non pertinentes ici car le corps en mouvement est considéré comme un point) de la cinématique rotationelle
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ₀ + T/I * $\text{[math]}$ t
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ₀ + $\text{[math]}$ * $\text{[math]}$ t

invitefa5fd80c · 09/07/2007, 10h05

Envoyé par mbochud

Au fur et à mesure qu’on s’approche du centre il faut continuellement faire décroître le \Delta t et , en plus, faire la vérification qu’un delta t plus petit à ce point ne change pas significativement le résultat.
« en traversant le centre la force. » Le centre n’est ainsi jamais traversé ; on ne fait que de s’en approcher (dans le genre spirale).

Si tu ajustes le $\text{[math]}$ au fur et à mesure pour ne pas générer d'erreur significative, alors ton calcul numérique est correct. Mais étant donné que la force (de même que ses dérivées successives) varie de plus en plus vite au fur et à mesure que tu te rapproches de $\text{[math]}$ , alors les $\text{[math]}$ requis sont de plus en plus petits et le nombre d'itérations requises pour atteindre $\text{[math]}$ est infini. Par contre la difficulté n'origine pas seulement du fait que l'on effectue un traitement numérique. Car même de façon analytique, il semble ne rien y avoir (pour ma part je n'ai rien trouvé) qui permette d'analyser le problème au-delà du moment où le satellite (ponctuel) atteint l'origine: le problème est indéterminé au-delà du moment où $\text{[math]}$ . La difficulté vient du fait qu'en $\text{[math]}$ , la vitesse est négative et infinie, l'accélération est négative et infinie et pour couronner le tout, $\text{[math]}$ ne peut être négatif (de par sa définition).

**mbochud** · 10/07/2007, 00h43

Envoyé par PopolAuQuébec

Par contre la difficulté n'origine pas seulement du fait que l'on effectue un traitement numérique. Car même de façon analytique, il semble ne rien y avoir (pour ma part je n'ai rien trouvé) qui permette d'analyser le problème au-delà du moment où le satellite (ponctuel) atteint l'origine: le problème est indéterminé au-delà du moment où $\text{[math]}$ . La difficulté vient du fait qu'en $\text{[math]}$ , la vitesse est négative et infinie, l'accélération est négative et infinie et pour couronner le tout, $\text{[math]}$ ne peut être négatif (de par sa définition).

Ça fait beaucoup d’infinis pour ma pauvre tête au point où r=0.

Ne sommes-nous pas en train de vouloir solutionner un faux problème ?
Peut-être faut-il que ne considérer que la phase d’approche ?
Il serait aussi intéressant de voir si cette approche de calcul numérique pourrait simuler une trajectoire autour d’un trou noir en gardant x toujours plus petit que 3 avec un champ qui passe de 1/r² à 1/r³ progressivement par exemple tel que mentionné au début 1/r(^{2+ vlib/c)}

On considère ici la masse qui génère le champ (comme celle qui gravite) comme ponctuelle. Dans le cas d’un champ en 1/r², on peut calculer l’accélération g à une distance r d’un astre en considérant que c’est équivalent à toute la masse ramenée en un point situé à r. Cette supposition reste-elle valable dans un champ différent de 1/r² ?

Autre chose ; la beauté de cette simulation, (suis bien conscient de ses limites !) c’est la très grande simplicité de sa base (2 équations en translation et 2 en rotation).
Y a-il moyen de modifier cette base de calcul pour satisfaire la RR (voir la RG) ?
v = v₀ +( F/ $\text{[math]}$ ³*m )* $\text{[math]}$ t

**deep_turtle** · 13/07/2007, 18h45

Envoyé par PopolauQuebec

En effet, lorsque le satellite arrive en r=0, sa vitesse est négative, la force est infinie et négative. Qu'est-ce qui le repoussera de l'origine ? Quelqu'un a une idée ?

Heu... L'élan ? Si tu envoies quelque chose vers un point, une fois qu'il l'a passé il n'a pas besoin de force pour s'en éloigner !

Sinon pour les infinis en r=0, ce n'est pas nécessairement un problème. Lorsque l'on étudie l'effondrement gravitationnel d'une boule de gaz homogène, par exemple, on arrive exactement à la même situation, à un certain moment tout se trouve au centre si on néglige les interactions entre les particules du gaz, et pourtant on sait très bien résoudre ça (tu trouveras des infos sous le nom "spherical collapse"), la position de chaque couche en fonction du temps décrit une cycloïde.

En gros, que l'accélération soit infinie ne pose pas de problème car ça n'arrive que pendant une durée nulle.

invitefa5fd80c · 15/07/2007, 01h59

Envoyé par deep_turtle

Envoyé par PopolAuQuébec

En effet, lorsque le satellite arrive en r=0, sa vitesse est négative, la force est infinie et négative. Qu'est-ce qui le repoussera de l'origine ? Quelqu'un a une idée ?

Heu... L'élan ? Si tu envoies quelque chose vers un point, une fois qu'il l'a passé il n'a pas besoin de force pour s'en éloigner !

J'ai finalement trouvé la solution et c'est tout bête. L'équation radiale du mouvement est:

$\text{[math]}$

Or, contrairement à ce que je disais ci-haut, la force n'est pas infinie et négative en $\text{[math]}$ . En effet, en raison de la symétrie sphérique, la force $\text{[math]}$ est nulle en $\text{[math]}$ . Par conséquent en $\text{[math]}$ , l'équation radiale du mouvement s'écrit:

$\text{[math]}$

La force est donc positive et infinie en $\text{[math]}$ et le mouvement de la particule peut alors être inversé.

hterrolle · 15/07/2007, 12h08

Vous voulez dire par la qu'a r=0 il y aurait un rebond

.

invitefa5fd80c · 15/07/2007, 12h28

Envoyé par hterrolle

Vous voulez dire par la qu'a r=0 il y aurait un rebond

.

Exactement. En r égal à 0 exactement la force radiale effective est répulsive et infinie ce qui permet à la particule de s'éloigner de l'origine.

**mbochud** · 15/07/2007, 15h22

La façon de faire la simulation numérique qui donnera le rebondissement consiste peut-être à conserver une masse ponctuelle pour le satellite, mais de décomposer l’autre entre plusieurs petits éléments (formant un nuage) liés entre eux par le même type de champ.
Cela éviterait de faire tendre indéfiniment les $\text{[math]}$ t vers 0.
La simulation devient lourde et peut-être un peu chaotique!
Ce n’est plus une masse qui gravite autour d’une autre masse, mais une masse qui gravite autour d’un nuage.

invitefa5fd80c · 15/07/2007, 22h56

Envoyé par mbochud

La façon de faire la simulation numérique qui donnera le rebondissement consiste peut-être à conserver une masse ponctuelle pour le satellite, mais de décomposer l’autre entre plusieurs petits éléments (formant un nuage) liés entre eux par le même type de champ.
Cela éviterait de faire tendre indéfiniment les $\text{[math]}$ t vers 0.
La simulation devient lourde et peut-être un peu chaotique!

Il y a un moyen de traiter numériquement le rebondissement en un nombre fini d'itérations tout en conservant une source ponctuelle à l'origine. En effet, au fur et à mesure que le satellite se rapproche de l'origine, sa vitesse augmente continuellement en grandeur et par conséquent le temps maximum requis pour atteindre l'origine est de plus en plus court.

En clair, si à un instant donné le satellite se trouve en $\text{[math]}$ avec une vitesse négative $\text{[math]}$ , le temps requis pour atteindre l'origine à cette vitesse est $\text{[math]}$ . Étant donné qu'en approchant l'origine, $\text{[math]}$ diminue constamment et $\text{[math]}$ augmente constamment, ce temps requis diminue constamment jusqu'à devenir trop petit pour avoir un quelconque intérêt. On peut alors simplement inverser le signe de la vitesse (rebond avec conservation de l'énergie) et augmenter le temps d'une quantité égale à $\text{[math]}$ tout en laissant $\text{[math]}$ à la même valeur: ainsi le rebond est effectué. Du même coup, il faut augmenter la valeur de l'angle $\text{[math]}$ d'une quantité égale à $\text{[math]}$ .

En pseudocode, on peut écrire la solution de la façon suivante, où la quantité DélaiMinimum représente l'erreur maximum que l'on veut avoir sur la variable temps :

Pour chaque itération calculant un nouveau point de la trajectoire
---Calculer la quantité $\text{[math]}$

---Si $\text{[math]}$ DélaiMinimum
------Faire le calcul du nouveau point de la trajectoire

---Sinon
------Temps=Temps+2*DélaiMinimum
------Inverser le signe de la vitesse
------Augmenter $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$

Suivant

On a ainsi traité le rebond avec une erreur aussi petite que l'on veut sur le temps en ajustant DélaiMinimum.

**deep_turtle** · 16/07/2007, 14h12

Envoyé par PopolauQuebec

La force est donc positive et infinie en et le mouvement de la particule peut alors être inversé.

Seulement si le moment cinétique est non nul. Pour une chute radiale, l'accélération est négative et infinie en r=0, et c'est pas un problème, cf messages précédents.

invitefa5fd80c · 17/07/2007, 01h45

Envoyé par deep_turtle

Pour une chute radiale, l'accélération est négative et infinie en r=0, et c'est pas un problème, cf messages précédents.

Dans le cas d'une chute radiale, l'équation du mouvement pour la coordonnée radiale $\text{[math]}$ s'écrit:
$\text{[math]}$
Par symétrie sphérique, la force (réelle) $\text{[math]}$ est nulle en $\text{[math]}$ et donc l'accélération radiale $\text{[math]}$ est nulle en $\text{[math]}$ . Par contre la vitesse radiale $\text{[math]}$ est négative et infinie en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne peut être négatif par définition.

Il n'y a bien sûr pas de problème physique, pour s'en convaincre il suffit d'étudier le problème en coordonnées cartésiennes. Le problème ici est mathématique: rien dans l'équation radiale du mouvement ci-haut ne peut repousser la particule de $\text{[math]}$ lorsque celle-ci s'y retrouve avec une vitesse négative et ce problème est tout aussi présent pour une particule libre. La réponse est que les coordonnées polaires sont pathologiques en $\text{[math]}$ : la valeur de $\text{[math]}$ y est tout à fait indéterminée. En $\text{[math]}$ on doit donc étudier le problème dans des coordonnées qui se comporte correctement en $\text{[math]}$ (en coordonnées cartésiennes, par exemple) et utiliser le résultat pour raccorder "à la main" les solutions radiales décrivant la trajectoire de la particule avant $\text{[math]}$ et après $\text{[math]}$ . Le résultat est que la vitesse radiale est inversée et que $\text{[math]}$ augmente de $\text{[math]}$

**deep_turtle** · 17/07/2007, 06h11

Le problème ici est mathématique

On est bien d'accord, il est lié au choix des coordonnées sphériques, comme tu l'expliques très bien. Mais du coup il faut faire attention au vocabulaire ! Tu dis

rien dans l'équation radiale du mouvement ci-haut ne peut repousser la particule (...)

Et le terme "repousser" est ici très bizarre. Quand la particule est à l'origine, il n'y a pas grande différence entre être attirée ou repoussée : elle va quitter l'origine dans les deux cas, et la répulsion devient instantanément une atttraction, et vice-versa...

Mais bon, on est d'accord en fait !

invitefa5fd80c · 17/07/2007, 06h27

Envoyé par deep_turtle

Et le terme "repousser" est ici très bizarre. Quand la particule est à l'origine, il n'y a pas grande différence entre être attirée ou repoussée : elle va quitter l'origine dans les deux cas, et la répulsion devient instantanément une atttraction, et vice-versa...

Effectivement, il semble que l'on ne prêtait pas le même sens au mot "repousser".

Envoyé par deep_turtle

Mais bon, on est d'accord en fait !

Il semble bien que oui

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