Fuites dans un ballon

[invite334acd02]

Bonjour,

Je dois calculer la pression en fonction du temps d'un gaz (l'hélium) contenu dans un ballon qui s'échappe par un trou de diamètre d. Le ballon a une certaine surpression avant la fuite qui doit intervenir dans l'expression de la pression. Le but final de l'exercice est de déterminer la vitesse finale que met le ballon à redescendre.
Dans un premier temps, j'ai utilisé Bernoulli en instationnaire en négligeant la dénivellation puis la vitesse dans le ballon par rapport à celle en sortie, j'obtiens:
dV/dt+V^2/d-2delta(P)/(rho.d)=0 (1)
où V est la vitesse de sortie de l'Helium, d le diamètre du trou et rho la densité de l'Helium et delta(P) la surpression appliquée dans le ballon.
Puis j'ai utilisé la relation suivante: dm/dt=rho.S.V traduisant la fuite de matière où S est la section du trou et m=M/n soit dn/dt=-rho.S.V.n^2/M (2)où M est la masse molaire et n le nombre de moles.
Enfin j'ai utilisé (P+delta(P)).V=nRT pour avoir une expression du delta(P) à réinjecter dans (1), je dérive ensuite l'expression par rapport au temps pour pouvoir y injecter l'expression (2) et je trouve une équation de la forme:
V''+a(V^2)'+bV=0
Je voulais juste savoir si c'était cohérent et pas trop simpliste et si c'était possible de résoudre cette équation analytiquement...
je vous remercie d'avance!
à bientôt!
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[chwebij]

j'y crois moyennenment a Bernoulli car ton fluide est compressible.
je ne me rappelle plus du détails du calcul mais j'ai déjà fait un exo sur une fuite de gaz
je te redonne ca ce soir si quelqu'un ne te repond pas avant

[invite334acd02]

Merci pour ta réponse chwebij,
j'aimerai bien que tu me donnes l'exercice en question car je suis pas très sure de moi en utilisant cette expression de Bernoulli en instationnaire...

[chwebij]

je l'ai trouvé mais elle est un peu compliqué

soit la probabilité qu'une particule de gaz pointe entre la co-latitude et la co-latitude en coordonnée sphérique d'axe Oz et parallèle à la normale de la surface s du trou




soit le nombre de particules qui sortent pendant une durée avec un module de vitesse et dans une direction formant un angle avec l'axe Oz.

ca représente le nbre de particules par unité de volume que multiplie le volume balayé par les particules pendant une durée
on a en moyenne statistique

le module de la vitesse des particules est une variable statistiquequi varie de 0 à et varie entre 0 et

on a donc

finalement on a
c'est le nombre moyen de particule sortant de la citerne par le trou de surface s

la je vais faire une hypothèse qui peut etre fausse lorsque la pression dans la citerne sera proche de la pression atmosphérique:
on considère que la variation du nombre de particule dN dans la citerne n'est du qu'à l'échapement des particules (en fait on néglige le fait que des particules exterieur rentre dans la citerne, ce qui est valide au haute pression)

on a alors



or si on prend la dérivé logarithmique de la loi des Gaz parfait (T supposé constant)
->

on a donc

on pose
et finalement...roulement de tambour



pour calculer <v> je ne suis pas sur mais vu que l'energie d'une particule de GP est
soit


avec m la masse par en kg/particule

pour exemple une citerne de dioxygène à 300K et un trou de 1mm² pour un volume de 100L
on a <v>=445m.s-1
et

bon calcul

[A voir en vidéo sur Futura]

[mbochud]

Bonjour,

Ce calcul est valable en régime d’écoulement moléculaire (Le mouvement d’une molécule est indépendant de celui des autres molécules).

Mais là , on est essentiellement en régime turbulent (et visqueux vers la fin ,quand la pression interne est proche de la pression externe.

Mon calcul en régime moléculaire pour l’hélium donne une conductance C de 0,31 l/sec .
Ce qui donne une constante de temps Tau de 322s (5min.) et la décroissance est effectivement exponentielle.

En régime turbulent la décroissance est linéaire (au moins dans une grande zone) ce qui signifie un flux gazeux constant .

[chwebij]

merci pour ces précisions mbochud
mais pour la turbulence on a pas de résultats analytiques?
une question débit=conductance??
et ton calcul pour le régime moléculaire est il différent du mien?
peut on avoir les détails?

[mbochud]

Oui, mais
Je reviens un peu plus tard

[mbochud]

Bonjour,
Dans l’hypothèse du régime moléculaire (ce qui n’est pas le cas du problème de lucy22)
Les molécules n’interfèrent pas les unes les autres.(L’hélium sort indépendamment de l’air)
Je prends des raccourcis.
La conductance C (l/sec) (à ne pas confondre avec un flux gazeux Pa l/sec ) est l’équivalent de l’inverse de résistance en électricité. Et un volume équivaut à la capacité d’un condensateur.
On a donc l’équivalent de la décharge d’un condensateur dans une résistance. V=V₀ e ^-t/RC
P=P₀ e ^-tC/V (Ici on suppose un ballon à volume fixe V)
On a aussi l’équivalent de la loi d’ohm V = Ri qui devient p = 1/C *Q
Avec Q flux gazeux.
Reste à trouver la conductance du trou en régime moléculaire.
Voir annexe basée sur la fréquence surfacique de collision
La conductance pour l’hélium est celle de l’azotte * (28/4)^1/2 donc 0,31l/s.

[mbochud]

Pour le calcul de lucy22 ,si la pression est relativement faible (il semble que ce soit une surpression constante) on est peut-être en régime visqueux.

[invite334acd02]

Merci mbochud et chwebij pour tous vos résultats! Ils sont très intéressants, j'aime beaucoup l'analogie à l'électricité. Si je comprends bien, elle est plus adequat à mon problème. Je vais essayer de l'exploiter.
En attendant j'avais continué mes calculs avec les équations suivantes et je voulais vous demander ce que vous en pensiez. (ça n'empêchera pas de faire les calculs avec les analogies pour pouvoir comparer mes réultats lors d'une expérimentation ultérieure)
v^2/2+g.z+Cp.T+intégrale(dv/dt.ds)=cste
P/rho=R.T/M
P.rho^gama=constante

J'obtiens le résultats suivant:
V(t)=sqrt(b/a).tanh(sqrt(ab).t)

où a=f(diamètre trou) et b=g(P, delta(P), Masses molaires, gama, chaleurs massiques, R, diamètre trou)

Je vous remercie et je risque de refaire appel à vous!

[invite334acd02]

J'ai déjà une question à vous poser...
J'ai voulu calculer la conductance du trou avec mes données à savoir masse_helium=1.4kg
R=8.314
T=290K
diamètre_trou=5mm
et je trouve une conductance de 1.3l/sec
C'est l'inverse de cette valeur que je dois injecter dans l'expression du volume? C'est normal qu'elle soit si différente de celle que vous avez calculé?à savoir 0.31l/sec?
Et quelle volume je dois prendre pour l'expression de la pression sachant qu'il dépend du temps lui aussi?
Merci d'avance si vous pouvez répondre à mes questions!

[invite334acd02]

la surpression est constante et vaut à peu près 1/8 de la pression atmosphérique. Est-ce que je dois considérer les effets visqueux et si oui, comment?

[mbochud]

Ce 0.31l/sec est obtenu en régime moléculaire , ce qui n’est pas du tout le cas dans ton problème.

La conductance d’un tuyau en régime visqueux est bien connue, mais pour un trou, c’est plus difficile à trouver (je l’ai juste pour l’air).
Le flux gazeux qui le traverse est la conductance fois la différence de pression.