Rotateur rigide

[isozv]

Help !!!

Je cherche désespérement la fonction d'onde exacte du rotateur hydrogénoïde. J'ai cherché sur internet et ils donnent tous des trucs différents et quand on contrôle si ce qu'ils donnent satisfait la condition d'orthonormalité ou de normalisation (intégrale = 1 sur tout l'espace) cela ne correspond jamais.

Voici la fonction que j'ai trouvé et qui semble être la plus proche de la bonne solution :



(celle-là si elle passe....)

Les connaisseurs reconnaîtront les harmoniques sphériques et les polynômes de Legendre.

N'hésitez pas à me sonner si vous avez besoin d'infos pour m'aider.

Merci bien
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[deep_turtle]

C'est quoi un "rotateur hydrogénoïde" ??

Les fonctions d'onde du rotateur rigide sont bien les fonctions propres du moment cinétique orbital, soit les harmoniques sphériques... C'est quoi qui te pose problème avec ça ? La formulation mathématique de ces harmoniques sphériques ?

Si c'est la normalisation, tu as bien fait attention que c'est l'intégrale de qui vaut 1, et c'est la même mesure qui intervient dans les relations d'orthogonalité ?

[isozv]

C'est quoi un "rotateur hydrogénoïde" ??

hi... hi... faute de frappe. je voulais dire rotateur rigide (je pensais à autre chose pendant que j'écrivais)

Les fonctions d'onde du rotateur rigide sont bien les fonctions propres du moment cinétique orbital, soit les harmoniques sphériques...

Je confirme !

C'est quoi qui te pose problème avec ça ? La formulation mathématique de ces harmoniques sphériques ?

Non pas vraiment.

Si c'est la normalisation, tu as bien fait attention que c'est l'intégrale de qui vaut 1, et c'est la même mesure qui intervient dans les relations d'orthogonalité ?

Oui j'ai bien fait attention à cela. Le problème c'est si je fais le produit scalaire (condition d'orthonormalité) entre Y(m=-2,l=3) et Y(m=-2,l=5) alors le produit scalaire ne fait pas zéro (bien évidemment le conjugué complexe n'intervient que sur l'exponentielle qui s'annule).

Tu peux tester sur Maple si tu veux voici la commande (j'ai fait un changement variable cos(theta)=x et comme les exponentielles conjuguées s'annulent je ne les ai pas mises) :

>y:=(m,l)->((1-x^2)^(abs(m)/2))*diff((1-x^2)^l,x$(m+l));

>int(y(-2,3)*y(-2,5),x=-1..1);

Tu verras tu obtiens un résultat non nul. Donc ce n'est pas orthogonal. Cependant pour les positifs cela marche. Mais alors dans ce cas, on doit avoir 0<=< l ????!!!!!

[deep_turtle]

Avant de me lancer dans la vérification de ta formule, je ne vois pas l'intégration sur phi dans ce que tu indiques (les relations d'orthonormalisation sont des intégrales doubles).

[A voir en vidéo sur Futura]

[isozv]

ben c'est normal que tu voies pas l'intégration du phi. Puisque il n'y a que l'exponentielle qui en est dépendante et que celle-ci est multipliée par sa conjuguée complexe dans l'intégrale fait 1. Donc inutile d'intégrer par rapport à cette variable (cela ne changera pas le fait que Maple donne toujours quelque chose de différent de zéro).

[deep_turtle]

OK j'avais pas fais attention, tu as pris deux valeurs de m égales (dans le cas général il reste une fonction de phi).

Si je regarde dans le Jackson, la formule qu'il donne pour les polynomes de Legendre est différente de celle que tu donnes, il précise qu'une formule valable pour m positif ou négatif,



Ton problème ne viendrait-il pas de la valeur absolue que tu as introduite, tu as peut-être pris la formule dans un endroit où on supposait m positif ?

[mtheory]

Bonsoir,je ne comprends pas moi non plus.
Cela peut-il aider?

http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html

[deep_turtle]

Bon, je commence à être assez sur vient effectivement de la valeur absolue que tu as mise dans l'exposant m/2... Du coup, un facteur (1-x² ) ou 1/(1-x² ) ça fait une différence !

[mtheory]

Bonsoir,je ne comprends pas moi non plus.
Cela peut-il aider?

http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html

A regarder de plus près pour les harmoniques sphériques avec polynomes de Legendre associés il semble qu'effectivement m,l soient toujours positif.

The associated Legendre polynomials are solutions to the associated Legendre differential equation, where l is a positive integer and m = 0, ..., l. They are implemented in Mathematica as LegendreP[l, m, x]. They can be given in terms of the unassociated polynomials by

(55)
(56)


where are the unassociated Legendre polynomials.

[isozv]

Si je regarde dans le Jackson

C'est ok. Avec cela ça fonctionne ! Merci bcp. Adopté )))

Bonsoir,je ne comprends pas moi non plus.
Cela peut-il aider? http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html

En parite oui ! 1. pour valider ce que dit deep_turtle. 2. Parce que c'est joli comme texte

Merci infiniment à tous les deux et bonne nuit

[isozv]

oui. il y a effectivement une petite nuance dans la proposition de deep_turtle. Si l'on écrit le (-1)^m, alors cette expression est seulement valable pour les m positifs. Sinon tout est bon.