gradient en coordonnées sphériques

[invite965eec6b]

En coordonnées sphériques un point M est caractérisé par les variables r, θ, ϕ. r est la distance OM. θ est l'angle entre l'axe z et OM
ϕ est l'angle entre l'axe x et la projection de OM dans le plan x, y.
On définit le repère ur, uθ, uϕ associé à ces coordonnées. Quand la distance r varie de manière infinitésimale, le point M se déplace le long de la direction ur de drur. Quand l'angle θ varie de la quantité infinitésimale dθ, le point M se déplace le long de la direction uθ de rdθuθ. Quand l'angle ϕ
varie de la quantité infinitésimale dϕ, le point M se déplace le long de la direction uϕ de rsinθdϕuϕ.

Voilà ce que j'ai pu tirer de mon cours sur le gradient (ui ui c bô...). Cependant je ne comprens pas la variation pour les deux dernières grandeurs ?
Pourquoi rdθuθ et rsinθdϕuϕ ? Je ne vois pas à quoi elles correspondent, comment les obtenir autrement qu'en apprenant bêtement la formule.

Merci d'avance
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[bongo1981]

Pour la variation suivant theta, tu es bien d'accord que tu ne fais que varier theta, en gardant phi et r constants ?
Si tu fais un dessin, tu vas voir que tu vas parcourir un arc de cercle, d'angle dtheta, et le rayon du cercle est r, c'est pourquoi :


Pour la direction phi, tu es bien d'accord qu'en gardant r et theta constants, tu va parcourir un angle dphi, mais pour le cercle, ce sera rsin theta (puisque c'est le cercle parallèle au plan Oxy, quant theta vaut pi/2 c'est le grand cercle r, si theta vaut 0 c'est 0)

[invite965eec6b]

Merci, j'ai encore un peu de mal pour le deuxième mais au moins c plus clair