coordonnées cylindriques et sphériques

[invite0395b98d]

Il faut expliciter dans la base associée aux coordonnées cylindriques (r, théta, z) le vecteur élémentaire dM=dOM.
Puis en déduire le volume et la surface de la terre. Recalculer le volume d'une sphère à partir de l'expression en coordonnées sphériques du vecteur dM.

Alors j'ai trouvé le vecteur dM :
dM= dr er + rd(théta) e(théta) + dz ez

Mais je ne vois pas comment calculer une surface d'une sphère en coordonnées cylindriques.
Je vois bien une solution qui serait de faire le calcul en coordonnées sphériques puis de passer en coordonnées cylindriques, mais je ne pense pas que ce soit ce qui est demandé ici.
Connaissez vous une autre méthode?
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[Coincoin]

Salut,
Effectivement, les coordonnées cylindriques ne sont pas les plus appropriées... Tu peux essayer d'exprimer le rayon de la tranche à z donné.

[pat7111]

Je vois bien une solution qui serait de faire le calcul en coordonnées sphériques puis de passer en coordonnées cylindriques, mais je ne pense pas que ce soit ce qui est demandé ici.

C'est le plus naturel et il me semble que c'est bien ce que suggère ton énoncé :

Recalculer le volume d'une sphère à partir de l'expression en coordonnées sphériques du vecteur dM.

Si tu veux absolument rester en cylindrique, tu as

et où r est le rayon de la tranche de cote z et le rayon courant sur cette tranche

Les deux dernières intégrales valent , on retrouve le volume d'une tranche en redémontrant en fait la surface d'un disque.

reste à exprimer r en fonction de z et du rayon R de la sphère et calculer la première intégrale pour retrouver le volume de la sphère

[invite0395b98d]

je vois un peu mieux ce qu'il faut faire mais comment puis je faire pour exprimer r en fonction de R et z?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Avec un schéma et Pythagore...

[pat7111]

Ben... y'avait un type qui s'appelait Pythagore qui aurait pu te donner une idée...

EDIT : déjà 2 réponses en patrouille serrée avec un canard...

[invite0395b98d]

Et pour calculer la surface de koi faut il partir comme relation?

[invitefbd60b13]

Salut ;
pas tout-à-fait d'accord avec Coin Coin sur la pertinence des coordonnées sphériques : vu que tes déplacements élémentaires sur les 3 directions dans ce système sont respectivement dr, r.d(theta) et r.sin(theta).d(phi), le volume élémentaire s'appuyant sur ceux-ci s'exprime r².sin(theta).dr.d(theta).d(ph i).
Tu intègres suivant les 3 variables r (de 0 à R), theta (de 0 à pi) et phi (de 0 à 2pi), et tu trouves la formule donnant le volume d'une sphère, soit 4(pi)R^3/3.
Avec le coup des piles d'assiettes en sphérique ça marche aussi, sauf que cette fois chaque disque a un volume pi.racinecarrée(R²-z²)dz. Tu dois alors intégrer ça pour z variant de -R à +R. Ca marche aussi mais c'est un peu plus galère. Tu peux faire un changement de variable en posant cos(theta) = z/R, ce qui revient en fait à traiter le problème... en sphériques.
Dernière chose, pour la surface : ton élément de surface, en sphérique, sappuie sur les déplacements élémentaires selon les vecteurs e(theta) et e(phi) (pas de déplacement radial : tu es sur une surface sphérique, donc r=R est fixé), soit une surface élémentaire dS = R²sin(theta) d(theta)d(phi). Une intégrale double plus tard (0 à pi sur theta, 0 à 2pi sur phi), tu trouves une surface de 4(pi)R².

A+,

Clayvermore

[Coincoin]

pas tout-à-fait d'accord avec Coin Coin sur la pertinence des coordonnées sphériques

Euh... pourtant j'ai l'impression qu'on est d'accord : c'est plus rapide et moins galère en sphériques qu'en cylindriques, non ?
Pour étudier une sphére, rien de mieux que le sphérique...

[invitefbd60b13]

Ah oui, navré, la réponse déconseillant les cylindriques m'avait échappé, j'étais resté sur ton idée de la pile de disques.

Clayvermore